2.1.2 椭圆的简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.2　椭圆的简单几何性质 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2．了解离心率对椭圆扁平程度的影响． 3．掌握椭圆标准方程中的a，b，c，e的几何意义，以及a，b，c，e之间的相互关系． 通过椭圆的简单几何性质的学习，形成数学抽象、直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养． 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)； B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)； B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． 2．性质： 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)椭圆＋＝1(a>b>0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距相等．(√) (2)对椭圆＋＝1(a＞b＞0)，有－a≤x≤a，－b≤y≤b.(√) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×) (4)椭圆是轴对称图形，但不是中心对称图形.(×) (5)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，点P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，点P在长轴端点处．(√) 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　) A．(－1，0)，(1，0)　　　　　 B．(－6，0)，(6，0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) D　[椭圆方程可化为＋x2＝1，则长轴的端点坐标为(0，±).] 3．(教材第52页例4改编)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6 B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝＝0.8.] 4．椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是______________． ＋＝1　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意可知，2a＝18，2c＝×2a＝6. 所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72. 故椭圆的方程为＋＝1.] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． [分析]　先把方程化成标准形式，再写出性质． 解　把已知方程化成标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝. 所以椭圆的长轴长是2a＝8，短轴长是2b＝6；离心率e＝＝； 两个焦点坐标分别是F1(－，0)，F2(，0)； 四个顶点坐标分别是A1(－4，0)，A2(4，0)，B1(0，－3)，B2(0，3). [方法总结]　确定椭圆的几何性质的步骤 (1)化标准：把椭圆方程化成标准形式． (2)定位置：根据标准方程分母大小确定焦点位置． (3)求参数：写出a，b的值，并求出c的值． (4)写性质：按要求写出椭圆的简单几何性质． [训练1]　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解　椭圆方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为＋＝1. 因为m2<4m2，所以>. 所以椭圆的焦点在x轴上，且a＝，b＝， c＝＝. 所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝； 焦点坐标为(－，0)，(，0)； 顶点坐标为(－，0)，(，0)，(0，－)，(0，)； 离心率e＝＝＝. 探究二　由椭圆的几何性质求其标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0)； (2)离心率e＝，焦距为12. 解　(1)当椭圆焦点在x轴上时，设其标准方程为＋＝1(a>b>0). 由题意，得解得 故椭圆的标准方程为＋y2＝1. 当椭圆焦点在y轴上时，设其标准方程为＋＝1(a>b>0). 由题意，得解得 故椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. (2)由2c＝12，e＝＝，得c＝6，a＝10. 所以b2＝a2－c2＝64. 当椭圆焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [方法总结]　根据几何性质求椭圆标准方程的方法及步骤 1．基本方法：待定系数法． 2．步骤： [训练2]　已知椭圆的对称