2.1.1 椭圆及其标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　椭圆 1．1　椭圆及其标准方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义． 2．掌握椭圆的标准方程． 3．掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程． 通过椭圆定义、标准方程的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理以及数学运算的核心素养． 1．椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距 两焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 集合语言 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|} 2.椭圆的定义中，当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时动点的轨迹是不存在的．只有2a＞|F1F2|时动点的轨迹是椭圆． 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2－b2 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×) (2)椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P与两焦点F1，F2构成的△PF1F2的周长为2a＋2c(其中c为椭圆的半焦距).(√) (3)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(×) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√) 2．到两定点F1(－7，0)和F2(7，0)的距离之和为14的点P的轨迹是(　　) A．椭圆　　　　　　　　　 B．线段 C．圆 D．以上都不对 B　[因为|PF1|＋|PF2|＝14＝|F1F2|， 所以点P的轨迹为线段F1F2.] 3．(教材第51页练习题4改编)设P是椭圆＋＝1上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，点P到焦点F1的距离是3，则点P到另一焦点F2的距离是(　　) A．10　　　 B．8 C．7　　　 D．5 C　[因为椭圆的方程＋＝1， 所以椭圆的焦点在y轴上． 由题意可知a2＝25，b2＝16，即a＝5，b＝4. 因为点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10， 所以点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.] 4．已知椭圆的两焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝6，椭圆上的点P满足|PF1|＋|PF2|＝10，则椭圆的标准方程为______________________． ＋＝1　[因为2c＝6，2a＝10，所以c＝3，a＝5.由a2＝b2＋c2，得b2＝52－32＝42＝16.所以椭圆的标准方程为＋＝1.] [知能解读]　求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法求椭圆方程要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 根据下列条件，求出椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； (2)经过点P(1，)，两焦点间的距离为2，焦点在x轴上． [分析]　先确定椭圆焦点所在的坐标轴，再根据题意求出a2，b2的值． 解　(1)由(0，5)，(0，－5)可知，椭圆的焦点在y轴上，于是设它的标准方程为＋＝1(a>b>0). 因为2a＝26，所以a＝13. 又c＝5，所以b2＝a2－c2＝144. 故所求椭圆方程为＋＝1. (2)方法一　由焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0). 因为2c＝2，所以c＝1.所以a2＝b2＋1. 又椭圆经过点P(1，)，所以＋＝1. 解得b2＝3. 所以a2＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　由焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0)， 因为焦距为2，所以焦点坐标为(－1，0)，(1，0). 又点P(1，)在椭圆上， 所以2a＝ ＋ ＝4. 所以a＝2.所以b2＝a2－c2＝3. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. [方法总结] 1．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)定位：确定焦点在哪个坐标轴上； (2)定量：依据条件及a2＝b2＋c2确定a，b，c的值； (3)写出标准方程． 2．求椭圆标准方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，再根据条件确定m，n的值． 3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，再将点的坐标代入，解方程组即可求得系数A，B的值． [训练1]