1.2.4 圆与圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．4　圆与圆的位置关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 3．能应用圆与圆的位置关系解决其他问题． 通过圆与圆的位置关系及判定方法的学习，达成直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．几何法： 圆O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r(r2>0)，两圆的圆心距d＝|O1O2|＝，则有 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 2.代数法： 圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，两圆的方程联立得方程组，则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(√) (2)若两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×) (3)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×) (4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系为相交．(√) 2．(教材第37页练习题1改编)圆x2＋y2－1＝0和圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A．内切　　　 B．相交　　　 C．外切　　　 D．外离 B　[两个圆的半径分别是1和3，圆心距是， 因为2<<4，所以两圆相交．] 3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C.(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D　[因为半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，所以动圆圆心到(5，－7)的距离为4＋1或4－1.故动圆圆心的轨迹方程为(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.] 4．圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为__________． 答案：0或±2 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离． 解　将圆C1，C2的方程配方，可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1. 所以圆心C1(a，1)，r1＝4，圆心C2(2a，1)，r2＝1. 所以|C1C2|＝ ＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离； 当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． [变式1]　若圆x2＋y2＝a与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________． 121或1　[因为x2＋y2＝a表示一个圆，所以a>0. 由题意可得两圆的圆心、半径长分别为(0，0)，与(－3，4)，6. 由两圆内切，得 ＝|－6|. 解得a＝121或a＝1.] [方法总结]　判断两圆位置关系的方法 1．代数法：通过方程组的解的个数判断，但往往计算过程较烦琐． 2．几何法：通过两圆圆心距d判断，当d＝r1＋r2时，两圆外切；当d＝|r1－r2|时，两圆内切；当d>r1＋r2时，两圆外离；当d<|r1－r2|时，两圆内含；当|r1－r2|<d<r1＋r2时，两圆相交. [训练1]　圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有(　　) A．1条　　　　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 B　[圆C1的半径r1＝2，圆心C1(－1，－1)；圆C2的半径r2＝2，圆心C2(2，1). 故|C1C2|＝. 由|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，可知两圆相交，故两圆的公切线有2条．] [知能解读] 1．两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，