1.2.3 直线与圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2.3　直线与圆的位置关系 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解直线与圆的三种位置关系． 2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 3．能解决有关直线与圆的位置关系的问题． 通过直线与圆的位置关系的判定与应用，加深直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判定方法 位置关系 相交 相切 相离 公共点 2个 1个 0个 判定方法 几何法：圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由方程组消元得到一元二次方程 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断.(√) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．(√) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．(√) (4)直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．(√) 2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 B　[圆心到直线的距离d＝＝<1，又直线y＝x＋1不过圆心(0，0)，所以直线与圆相交但不过圆心．] 3．(教材第33页练习题2改编)若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A.(0，) B． C．(0，) D． C　[由题意得<1.解得0<k<.] 4．(教材第33页例7改编)过原点的圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线方程为____________. x＝0或y＝0　[已知圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心为(1，1)，半径为1. 所以圆与x轴、y轴都相切． 故所求切线方程为x＝0或y＝0.] [知能解读]　直线与圆的位置关系的判定方法(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，由圆和直线方程得到的一元二次方程的判别式为Δ) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.分别说明当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　方法一　将直线方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 故Δ＝4m(3m＋4). (1)当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝ . ①当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； ②当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； ③当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． [方法总结]　直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是圆心到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组的解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件选择恰当的解题方法． [训练1]　直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是(　　) A．相切　　　　　　　 B．相交 C．相离 D．不确定 B　[直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0恒过定点(－1，－1)，而(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5<0，则(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0内．因此直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．] 已知直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程． 解　因为(2－1)2＋(3＋2)2>1， 所以点P在圆外． 方法一　①当直线l的斜率存在时，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0. 因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切， 所以＝1.解得k＝. 所以直线l的方程为 y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②当直线l