天津市天津中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题

第 1页（共 4页） 天津中学 2022 级高二（上）第一次月考数学试卷 一．填空题（共 25 小题，每道题 3 分，共 75 分） 1．经过点 A（﹣3，1）和点 B（4，﹣2）的直线 l的斜率是 ． 2．直线 x+ y+2023＝0的倾斜角的大小为 ． 3 ． 已 知 直 线 l 斜 率 的 取 值 范 围 是 ， 则 l 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 ． 4．两直线 3x+y﹣3＝0与 6x+my﹣1＝0平行，则它们之间的距离为 ． 5．已知直线 l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线 l2：x+ay+3＝0垂直，则 a等于 ． 6．过点 P（﹣3，﹣5），且斜率为 2的直线的一般式方程为 ． 7．直线 l过点 P（1，3），且它的一个方向向量为（2，1），则直线 l的一般式方程为 ． 8．过点 A（3，﹣1）且在 x轴和 y轴上的截距相等的直线方程是 ． 9．已知三角形三个顶点 A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），则 BC边上中线所在直线方程 是 ． 10．经过点 P（ 2， 3），并且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 是 ． 11．不论 m为何数，直线（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒过定点 ． 12．已知直线 l1：ax+y+3＝0与 l2：2x+（a﹣1）y+a+1＝0平行，则 a＝ ． 13．点 P（1，2）到直线 3x+4y﹣6＝0的距离为 ． 14．点（0，﹣1）到直线 y＝k（x+1）距离的最大值为 ． 15．已知直线 l1：mx+y+2m﹣3＝0，l2：mx+y﹣m+1＝0，则直线 l1与 l2之间的距离最大值为 ． 16．已知圆的一条直径的端点分别是 A（﹣ 1， 0）， B（ 3，﹣ 4），则该圆的方程 为 ． 17．已知圆 C的圆心在直线 x﹣2y﹣3＝0上，且过点 A（2，﹣3）、B（﹣2，﹣5），则圆 C的一般 方程为 ． 18．经过点（0，0），（0，4），（3，3）的圆的方程为 ． 第 2页（共 4页） 19．若点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数 a的取值范围是 ． 20．在平面直角坐标系中，圆的方程为 x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为 ． 21．已知实数 x，y满足 3x﹣y﹣13＝0，那么 的最小值为 ． 22 ． 方 程 x2+y2 ﹣ 2mx ﹣ 4y+5m ＝ 0 所 表 示 的 曲 线 是 圆 C ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ． 23．当点 P在圆 x2+y2＝1上运动时，连接点 P与定点 Q（4，0），则线段 PQ的中点 M的轨迹方程 为 ． 24．圆 x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线 2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）对称，则 + 的最小值为 ． 25．数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题可以转化为几 何问题加以解决．例如：与 相关的代数问题，可以转化为点 A（x，y）与 点 B（a，b）之间的距离的几何问题．结合上述观点：对于函数 f（x）＝ ， f（x）的最小值为 ． 二．解答题（共 5 小题，每道题 15 分，共 75 分） 26．在三棱台 ABC﹣A1B1C1中，若 A1A⊥平面 ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，M， N分别为 BC，AB中点． （1）求证：A1N∥平面 C1MA；（2）求平面 C1MA与平面 ABB1A1所成角的余弦值； （3）求点 B1到平面 C1MA的距离；（4）求点 B1到直线 C1M的距离． 第 3页（共 4页） 27．直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为 A1B1中点，E为 AA1 中点，F为 CD中点． （1）求证：EF∥平面 C1DB1；（2）求直线 BC与平面 CC1D的正弦值； （3）求点 B到平面 CC1D的距离； （4）求平面 A1CD与平面 ABC夹角的余弦值． 28．如图，正方形 ABCD的中心为 O，四边形 OBEF为矩形，平面 OBEF⊥平面 ABCD，点 G为 AB的中点，AB＝BE＝2． （1）求证：BE⊥平面 ABCD；（特别提醒：这一问建系去证给 0分） （2）求二面角 A﹣EF﹣C的正弦值；（可以开始建系了） （3）求点 C到直线 AF的距离； （4）设 H为线段 AF上的点，求如果直线 BH和平面 CEF所成角的正弦值为 ， 求 AH的长 度． 第 4页（共 4页） 29．如图，在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1 ＝2，AD＝CD＝ ，且点 M和 N分别为 B1C和 D1D的中点． （1）求证：MN∥平面