第1章 习题课 直线与圆的方程的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

习题课　直线与圆的方程的应用 1．已知直线ax－by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形(　　) A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在 B　[由直线与圆相切， 得圆心到切线的距离d＝＝1. 所以a2＋b2＝c2.故该三角形为直角三角形．] 2．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则 的最大值为(　　) A． B．2 C．1 D．＋1 D　[可看作圆上的点(x，y)到定点(1，1)的距离．根据圆的几何性质，其最大值为(1，1)到圆心(0，0)的距离与圆的半径之和，即＋1＝＋1.] 3．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上的点到直线4x－3y－2＝0的最小距离为1，则圆的半径r为(　　) A．4 B．5 C．6 D．9 A　[由圆的方程可知圆心为(3，－5)， 圆心到直线4x－3y－2＝0的距离 d＝＝5. 依题意知，d－r＝1，所以r＝4.] 4．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为(　　) A．－或 B． C．－或 D． A　[因为∠POQ＝120°， 所以点O到直线y＝kx＋1的距离d＝. 又d＝＝，所以k＝±.] 5．圆x2＋y2＝4上与直线l：4x－3y＋12＝0距离最小的点的坐标是(　　) A．(，) B．(，－) C．(－，) D．(－，－) C　[过圆心(0，0)与直线4x－3y＋12＝0垂直的直线方程为3x＋4y＝0. 3x＋4y＝0与x2＋y2＝4联立，可得x2＝. 所以该直线与圆的交点坐标是(－，)，(，－). 又圆上一点与直线4x－3y＋12＝0的距离最小，所以所求的点的坐标为(－，).] 6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ D　[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3，2)，半径r＝1.如下图，作点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3). 由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝.整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0.解得k＝－或k＝－.] 7．已知圆M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 D　[圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心的坐标为(1，1)，半径为2. 如下图，由题意可知PM⊥AB. 则S四边形PAMB＝|PM|·|AB|＝|PA|·|AM|＝2|PA|. 所以|PM|·|AB|＝4|PA|＝4. 当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l. 故直线PM的方程为y－1＝(x－1)， 即x－2y＋1＝0. 由得所以P(－1，0). 又直线x＝－1，即PA与⊙M相切． 所以PA⊥x轴，PA⊥MA.所以A(－1，1). 又直线AB与l平行， 设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0， 将A(－1，1)的坐标代入2x＋y＋m＝0，得m＝1. 所以直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.] 8．圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，则k的取值范围是(　　) A．(，2) B．(－2，－) C．(－∞，－2)∪(－，)∪(2，＋∞) D．(－∞，－)∪(2，＋∞) C　[圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2. 因为圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于， 所以<<3. 所以k的取值范围是 (－∞，－2)∪(－，)∪(2，＋∞).] 9．(多空题)设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则 的最大值为________，最小值为________. ＋2　－2　[的几何意义为动点P(x，y)到定点(1，1)的距离． 因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点， 所以表示点(1，1)与该圆上点的距离． 易知点(1，1)在圆x2＋(y＋4)2＝4外， 易得的最大值为 ＋2＝＋