6.5 正态分布（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§5　正态分布 1．(2021·新高考Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大 B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等 D　[σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故选项A正确． 由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故选项B正确． 由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故选项C正确． 因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同．故选项D错误．] 2．已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[因为随机变量X服从正态分布N(a，4)， 所以曲线关于直线x＝a对称，且P(X>a)＝0.5. 由P(X>1)＝0.5，可知μ＝a＝1.] 3．若随机变量X的密度函数为f(x)＝e－，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为(　　) A．p1>p2 B．p1<p2 C．p1＝p2 D．不确定 C　[由正态曲线的对称性及μ＝0，得曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.] 4．已知某批零件的长度误差ξ(单位：mm)服从正态分布N(0，32)，从中随机取1件，其长度误差落在区间[3，6]内的概率为(　　) A．0.045 6 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4 B　[P(－3≤ξ≤3)≈0.682 6，P(－6≤ξ≤6)≈0.954 4，则P(3≤ξ≤6)≈×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.] 5．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)上的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点． 0．2　[由正态曲线关于直线x＝μ对称和在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.] 6．黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2 000，10 000)的随机变量，则每天到西江苗寨的游客人数超过2 100 的概率为________． 参考数据：若ξ服从N(μ，σ2)，有 P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 6， P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 4， P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 4 0．158 7　[因为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间[μ－σ，μ＋σ]内取值的概率为0.682 6，随机变量ξ服从正态分布N(2 000，1002)，所以每天到西江苗寨的游客人数超过2 100 的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7.] 7．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(2 500，202)，该工厂共有1 200名工人，则估计月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有多少人？ 解　设该工厂工人的月收入为ξ， 则ξ～N(2 500，202). 所以μ＝2 500，σ＝20. 故月收入在区间[2 500－3×20，2 500＋3×20]内取值的概率是0.997 4，该区间即[2 440，2 560]. 因此月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有 1 200×(1－0.997 4)＝1 200×0.002 6≈3(人). 8．在某市组织的一次数学竞赛中，全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人． (1)此次参加竞赛的学生共有多少人？ (2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，则获得奖励学生的分数线是多少？ 解　(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛． 因为X～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10. 则P(X≥90)＝[1－P(30<X<90)] ＝(1－0.997 4)＝0.001 3. 又P(X≥90)＝， 所以＝0.001 3，即n＝10 000. 故此次参加竞赛的学生共有10 000人． (2)设获得奖励学生的分数线为x0，则 P(X≥x0)＝＝0.022 8. 因为0.