5.4.2 二项式系数的性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4.2　二项式系数的性质 1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　) A．2n－1 B．2n－1 C．2n＋1－1 D．2n C　[方法一　令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1. 方法二　令n＝1，知各项系数和为3，排除选项A，B，D.] 2．(x2＋x－2)5的展开式中含x3项的系数为(　　) A．－160 B．－120 C．40 D．200 B　[(x2＋x－2)5＝(x＋2)5·(x－1)5＝(x5＋10x4＋40x3＋80x2＋80x＋32)·(x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1)， 所以展开式中含x3项的系数为40×(－1)＋80×5＋80×(－10)＋32×10＝－120.] 3．设(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0－a1＋a2－a3＋a4的值为(　　) A.1 B．－1 C．81 D．－81 A　[令x＝－1，可得[2×(－1)＋1]4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，则有a0－a1＋a2－a3＋a4＝1.] 4．已知bxn＋1＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋an(x－1)n，对任意x∈R恒成立，且a1＝9，a2＝36，则b＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 D　[因为bxn＋1＝b[(x－1)＋1]n＋1＝a0＋a1(x－1)＋…＋an(x－1)n，所以a1＝C·b＝nb＝9，a2＝C·b＝＝36.所以n－1＝8，即n＝9.所以b＝1.] 5．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________． 3　[由题意可知，B＝2n，A＝4n.由A＋B＝72，得4n＋2n＝72.所以2n＝8或2n＝－9(舍去).所以n＝3.] 6．在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为________． 165　[在(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x2项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＝165.] 7．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小项是____________． －252a5b5　[在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数．因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝Ca5(－b)5＝－252a5b5.] 8．设m，n∈N，已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n. (1)当m＝n＝2 013时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013，求a0－a1＋a2－…－a2 013. (2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m，n变化时，试求x2系数的最小值． 解　(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 013＝(1－2)2 013＋(1－1)2 013＝－1. (2)因为2C＋C＝2m＋n＝20，所以n＝20－2m.则x2的系数为 22C＋C＝4×＋ ＝2m2－2m＋(20－2m)(19－2m) ＝4m2－41m＋190， 所以当m＝5，n＝10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值为85. 9．已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn展开式中只有第1 010项的二项式系数最大． (1)求n的值． (2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|an|. (3)求＋＋＋…＋. 解　(1)由二项式系数的对称性，可得展开式共有2 019项，且＋1＝1 010.所以n＝2 018. (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|an|，即 (2x＋1)n＝(2x＋1)2 018的展开式中各项系数和， 令x＝1，可得 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝32 018. (3)在(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中， 令x＝0，可得a0＝1； 再令x＝，可得 1＋＋＋＋…＋＝0. 所以＋＋＋…＋＝－1. 10．已知(x2－)n展开式中的各项二项式系数之和为64，则展开式中的各项系数之和为(　　) A．64 B．32 C．－32 D．－64 A　[因为(x2－)n展开式中的各项二项式系数之和为64，所以2n＝64.解得n＝6. 所以展开式中的各项系数之和为(1－3)6＝64.] 11．已知(＋)n的展开式中，各项系数之和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是(　　) A．6 B． C．4x D． 或4x A　[由条件可得8<2n<32，所以n＝4.又二项式中两项系数均为1，所以展开式中系数最大的项就是二项式系数最大项，为C()2