3.4.3 第2课时 空间中的距离问题（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

第2课时　空间中的距离问题 1．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，则在上的投影数量为＝＝－4. 又||＝， 所以AC边上的高BD的长为＝5.] 2．如下图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为(　　) A．1 B． C． D． C　[以点A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系． 则E(1，1，)，F(2，1，). 所以|FE|＝ ＝.] 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(　　) A．a B．a C．a D． A　[建立如右图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a). 所以＝(0，a，－a)， ＝(－a，0，a). 所以||＝a，||＝a. 所以点A1到BC1的距离 d＝ ＝ ＝a.] 4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A． B． C． D． B　[建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A1(0，1，0)，B(0，－1，1)，C(，0，1)， A(0，1，1)，＝(0，0，1)，＝(0，－2，1)，＝(，－1，1). 设平面A1BC的一个法向量为a＝(x，y，z). 由得 取z＝1，得x＝－，y＝.故a＝(－，，1). 所以点A到平面A1BC的距离 d＝＝＝.] 5．如右图，在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　) A． B． C． D． D　[如下图，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0). 所以＝(－1，0，1)， ＝(－，0，). 所以＝AD1． 又直线AD1与MN不重合， 所以MN∥AD1. 又MN⊄平面ACD1，所以MN∥平面ACD1. 因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)， 设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令x＝1，则y＝z＝1.故n＝(1，1，1). 又因为＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)，所以点M到平面ACD1的距离 d＝＝＝. 故直线MN与平面ACD1间的距离为.] 6．(多选题)如下图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为对角线BD1上靠近B点的三等分点，则P到各顶点的距离的取值有(　　) A． B． C．3 D．2 ABCD　[建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3). 所以＝(－3，－3，3). 因为＝BD1＝(－1，－1，1)， 所以＝＋(－1，－1，1)＝(2，2，1). 所以|PA|＝|PC|＝|PB1|＝＝， |PD|＝|PA1|＝|PC1|＝＝3， |PB|＝，|PD1|＝＝2. 故P到各顶点的距离的不同取值有，3, ，2.] 7．如右图，在空间直角坐标系中有一个长方体ABCD ­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A. B． C． D．1 B　[过点B作BE垂直A1C，垂足为E. 设点E的坐标为(x，y，z)， 则A1(0，0，3)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，＝(1，2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z). 因为所以 解得所以＝(－，，). 所以点B到直线A1C的距离||＝.] 8．如右图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 　[如右图，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1). 所以＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1). 所以＝，||＝. 故点D1到直线GF的距离 d＝＝ ＝.] 9．(多空题)在棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则点D到A1C1的距离为________，点D到平面EFD1B1的距离为________. 　　[建立如右图所示的空间