3.4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 B　[因为a·b＝－2＋2＋0＝0，所以a⊥b.所以α⊥β.] 2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 D　[因为l⊥α，v∥α，所以u⊥v.所以(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0.所以z＝3.] 3．已知空间中四点A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系为(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 A　[因为＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)， 所以＝－2. 所以∥.所以AB∥CD.] 4．(多选题)如右图，已知在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列结论正确的是(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 ACD　[因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以A1M∥D1P．所以A1M∥D1P.故选项A正确． 由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.故选项C，D正确． 因为PQ与D1B1平行但不相等，所以四边形D1PQB1为梯形，即D1P与B1Q不平行，亦即A1M与B1Q不平行，故选项B不正确．] 5．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 A　[因为a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0， a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0， b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0， 所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c. 所以l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.] 6．(多选题)在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的是(　　) A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ B．对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ C.当AR⊥A1C时，AR⊥D1R D．当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1 ABD　[建立如下图所示空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，C(0，2，0). 所以＝(－2，2，－2). 设P(2，a，0)，a∈， Q，b∈. 设＝λ， 则R，λ∈. 由D1(0，0，2)，C(0，2，0)，得 ＝，＝. 所以·＝4－2b. 当b＝2时，D1P⊥CQ，选项A正确． 由D1R＝，得 ·＝2－2λb. 取λ＝时，D1R⊥CQ，选项B正确． 若AR⊥A1C，则 ·＝·(－2，2，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0. 解得λ＝. 此时·＝(－，，)·(，，－)＝－≠0，选项C错误． 若A1C＝3A1R， 则R(，，)，＝(，，－). 设平面BDC1的一个法向量为n＝. 又＝(－2，－2，0)，＝(0，2，2)， 由得 令y＝－1，可得x＝z＝. 故n＝. 故·n＝0. 所以D1R∥平面BDC1，选项D正确．] 7．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是__________． VA∥平面PMN　[如右图，设＝a， ＝b，＝c. 则＝a＋c－b. 由题意知＝b－c， ＝－ ＝a－b＋c. 因此＝＋. 所以，，共面． 又VA⊄平面PMN，所以VA∥平面PMN.] 8．如右图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 证明　(1)建立如右图所示的空间直角坐标系． 设AC∩BD＝N，连接NE， 则N(，，0)，E(0，0，1)， A(，，0)，M(，，1)， 所以＝(－，－，1)， ＝(－，－，1). 所以＝，且NE与AM不共线． 所以NE∥AM. 又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝(－，－，1). 因为D(，0，0)，F(，，1)， 所以＝(0，，1). 所以·＝0