3.2.2 空间向量的运算(数量积)（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．2　空间向量的运算(数量积) 1．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 BD　[由于数量积不满足结合律，故选项A不正确；由数量积的性质知选项B正确；选项C中，|a|2b＝|b|2a一定不成立；选项D运算正确．] 2．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，棱长为1，则·等于(　　) A．0 B．1 C． D．－1 B　[·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝0＋0＋1＋0＝1.] 3.如右图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　) A．6 B．6 C．12 D．144 C　[因为＝＋＋， 所以2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以||＝12.] 4．已知等边三角形ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为(　　 ) A．－ B． C．2 D．2 A　[在等边三角形ABC中，因为∠A＝60°， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 因此向量在向量方向上的投影向量为－.] 5．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 B　[·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2＞0，同理，可证·＞0，·＞0.所以△BCD的每个内角均为锐角．故△BCD是锐角三角形．] 6．(多空题)如下图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|－|＝________，与的夹角为________． 　90°　[因为＝， ·＝2×2×cos 60°＝2， 所以|－|2＝＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3. 故|－|＝. 又因为＝＝(－)， 所以·＝·(－)＝(·－·)＝0. 所以〈，〉＝90°.] 7．如下图，已知正三棱柱ABC ­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________． 90°　[不妨设棱长为2， 则＝－，＝＋． 所以cos 〈，〉 ＝ ＝＝0. 故〈，〉＝90°.] 8．如下图，二面角α ­l­β的平面角为60°，棱l上有两点A，B，点C，D分别在α，β内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________． 　[由条件易知＝＋＋，且〈，〉＝120°，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝12＋12＋12＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2. 所以||＝.] 9．已知a，b都是非零向量，且向量a＋3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求向量a与b的夹角． 解　由题意得 即 两式相减，得46a·b－23b2＝0. 所以b2＝2a·b. 由7a2＋16a·b－15b2＝0，得a2＝2a·b. 所以a2＝b2＝2a·b. 设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝. 因为0°≤θ≤180°，所以向量a与b的夹角为60°. 10．已知非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为(　　) A.[0，1] B．[1，2] C．[0，3] D．[1，3] C　[因为|p|2＝(＋＋)2 ＝3＋2(＋＋)≤3＋2×3＝9， 所以0≤|p|≤3.] 11．(多空题)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a上的投影数量是________． 　1　[a·b＝|a||b|cos 45°＝4|b|cos 45°＝2|b|. 又(a＋b)·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2＝16＋|b|－3|b|2＝12， 解得|b|＝或|b|＝－(舍去). 故b在a上的投影数量为|b|cos 45°＝×＝1.] 12．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________． 　[由已知得·＝·＝·＝0，且＝，故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝(1＋4＋9)＝.] 13．如右图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1. (2)设与的夹角为，求侧棱的长． (1)证明　＝＋，＝＋. 因为⊥平面ABC， 所以·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， 所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. 因为·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝||·||·cos 〈，〉＋2＝－1＋1＝0， 所以