3.2.1-3.2.2 从平面向量到空间向量&空间向量的运算(加减法与数乘)（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　空间向量与向量运算 2．1　从平面向量到空间向量 2．2　空间向量的运算(加减法与数乘) 1．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　[因为＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝a＋2b，所以＝2，且有公共点B. 所以A，B，D三点共线．] 2．已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则等于(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ D　[如右图，＝， ＝＋，＝A1C1， ＝＋， ＝，＝， 所以＝(＋)＝＋＋.] 3．(多选题)如右图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的有(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋ C．(＋)＋ D．(＋)＋ ABCD　[选项A中，(＋)＋＝＋＝； 选项B中，(＋)＋＝＋＝； 选项C中，(＋)＋＝＋＝； 选项D中，(＋)＋＝＋＝．] 4．在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．a－b－c C．a－b＋c D．a－b＋c C　[＝(＋) ＝－＋(＋) ＝－＋＋ ＝－＋(－)＋(－) ＝－＋＋ ＝a－b＋c.] 5．(多选题)若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则下列式子能得出M，A，B，C四点共面的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ ABD　[选项A中，由结论“＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面”知，选项A符合；选项B，D中，易知，，共面，且有公共点M，所以M，A，B，C四点共面，故选项B，D符合；选项C中，，，不共面，故M，A，B，C四点不共面．] 6．如右图，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，＝2，则D1E等于(　　) A．＋＋ B．＋－ C．＋－ D．＋－ B　[取BC的中点F，连接A1F，则A1D1綊FE.所以四边形A1D1EF是平行四边形． 所以A1F綊D1E.所以＝． 又＝＋＋＝－＋＋， 所以＝＋－．] 7．化简：(a＋2b－3c)＋5(a－b＋c)－3(a－2b＋c)＝____________． a＋b－c 　[原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c ＝(＋－3)a＋(1－＋6)b＋(－＋－3)c ＝a＋b－c.] 8．已知A，B，P三点共线，O为空间任意一点，＝＋β，则β＝_________． 　[因为A，B，P三点共线， 所以＝λ，即－＝λ(－). 所以＝(1－λ)＋λ. 又＝＋β， 所以所以β＝.] 9.如右图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出表示化简结果的向量． 解　如右图． 因为G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线， 所以＝. 又＝(－)＝－＝－＝， 所以＋－＝＋－＝. 10．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线．若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－).整理得＝(1＋λ)－λ.令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.] 11．如右图，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若＝＋x＋y，则(　　) A．x＝－，y＝ B．x＝，y＝－ C．x＝－，y＝－ D．x＝，y＝ A　[＝＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋＝－＋， 所以x＝－，y＝.] 12．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________． 　[根据P，A，B，C四点共面的条件知，存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1.于是＋＋λ＝1，即λ＝.] 13．已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值： (1)＝＋x＋y； (2)＝x＋y＋. 解　如下图． (1)＝－＝－(＋) ＝－－， 所以x＝y＝－. (2)因为＋＝2， 所以＝2－. 又因为＋＝2， 所以＝2－. 从而有＝2－(2－)＝2－2＋. 所以x＝2，y＝－2. 14.如右图，M，N分别是空间四边形ABCD 的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面，并说明理由． 解　向量与，共面．理由如下： 由题图可得＝＋＋.①