2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 1．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　) A．8 B．16 C．32 D．61 B　[由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2. 代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x， 即x2－12x＋4＝0. 所以x1＋x2＝12. 故弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.] 2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　 ) A． B． C． D． B　[由椭圆方程，得左焦点坐标为(－，0).易求直线AB的方程为y＝(x＋). 由消去y并整理，得 7x2＋12x＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝×＝.] 3．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3. 根据抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，F(，0)为抛物线焦点． 由上图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，则|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.] 4．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过点F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　[因为kAB＝＝1， 所以直线AB的方程为y＝x－3. 因为双曲线的焦点为F(3，0)，所以c＝3，c2＝9. 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0). 由－＝1，得 (b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝＝2×(－12). 所以a2＝－4a2＋4b2.所以5a2＝4b2. 又a2＋b2＝9，所以a2＝4，b2＝5. 所以双曲线E的方程为－＝1.] 5．(多选题)已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有(　　) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1 C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2 ACD　[椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8.直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故选项A，C，D满足条件．] 6．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是(　　) A． B． C． D． A　[由消去y， 得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， MN的中点P(x0，y0)， 则x0＝＝， y0＝1－x0＝1－＝. 所以kOP＝＝＝.] 7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为______________． y2＝4x　[设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝k. 又P(2，2)为AB的中点，所以＝2. 所以k＝4.所以y2＝4x.] 8．已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过点P引一条弦，使这条弦被点P平分，则这条弦所在的直线的方程为__________________． x＋2y－3＝0　[方法一　易知弦所在直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． 由消去y，得 (2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0. 所以x1＋x2＝. 又x1＋x2＝2，所以＝2. 解得k＝－. 经检验，k＝－满足题意． 故此弦所在直线的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2). 则＋＝1，① ＋＝1.② ①－②，得 ＋＝0. 因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 所以＋y1－y2＝0. 所以k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意． 所以此弦所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.] 9．如下图，过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与x轴交