2.4.1 直线与圆锥曲线的交点（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．] 2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　) A． B．－ C．± D．± C　[由消去y，得 (3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0. 由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0. 解得k＝±.] 3．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A．(，) B．(，) C．(－，) D．(－，) C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0). 由消去y，得3x2＋4x－2＝0. 则x0＝＝×(－)＝－， y0＝x0＋1＝. 所以弦的中点坐标为(－，).] 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(　　) A.(1，) B．(1，)∪(，＋∞) C．(，＋∞) D．[，＋∞) C　[双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率k＝， 要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点， 只要满足>2即可．所以>2. 所以>2.解得e>.] 5．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上，直线PA1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[由椭圆C：＋y2＝1的方程，得 a2＝2，b2＝1. 由椭圆的性质可知kPA1·kPA2＝－＝－. 所以kPA2＝－. 因为kPA1∈[1，2]，所以kPA2∈.] 6．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　) A． B． C． D． D　[由题意知F(－c，0)，A(a，0)，B(－c，±). 因为BF⊥x轴，所以＝. 又＝2，所以＝2. 故e＝＝.] 7．(多选题)过点(－2，1)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则下列直线l的方程满足条件的是(　　) A．y＝1 B．x＋2y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－2y＋4＝0 ACD　[由题意知直线l的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x＋2). 由方程组(*) 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① 当k＝0时，由方程①得y＝1. 把y＝1代入y2＝4x，得x＝. 这时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)，直线l的方程为y＝1. 当k≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k2＋k－1). 当Δ＝0时，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，即直线l与抛物线只有一个公共点． 此时直线l的方程为 y－1＝－1(x＋2)或y－1＝(x＋2)， 即x＋y＋1＝0或x－2y＋4＝0.] 8．直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是__________________． (－∞，－3)∪(0，＋∞)　[由题意知k≠0.因为直线l与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.由k2>0，得t>0或t<－2.把直线l的方程代入抛物线方程并整理，得x2－4kx－4t＝0.于是由Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，得t>0或t<－3.综上，实数t的取值范围是(－∞，－3)∪(0，＋∞).] 9．已知直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，AB中点的横坐标为2，求k的值． 解　由得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0. 由Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，得k>－1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由AB中点横坐标为2，得x1＋x2＝＝4. 解得k＝2或k＝－1(舍去). 所以k＝2. 10．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为(　　) A.48 B．56 C．64 D．72 A　[如下图． 由得x2－10x＋9＝0. 解得或 所以|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8. 所以梯形APQB的面积为S＝(|AP|＋|BQ|)×|PQ|＝(10＋2)×8＝48.] 11．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． D　[设双曲线方程为－＝1(a＞0，