2.3.1 抛物线及其标准方程（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　) A．(1，0) B．(0，) C．(，0) D．(0，) D　[抛物线方程为x2＝y，可知焦点在y轴上，且＝，所以焦点坐标是(0，).] 2．焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝20x B．x2＝20y C．y2＝x D．x2＝y B　[由5＝，得p＝10.又焦点在y轴正半轴上，即方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.] 3．已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F，且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是(　　) A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 C　[因为动圆M过点F，且动圆M与直线l相切，所以圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|，即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，且定点F不在定直线l上，所以由抛物线的定义，可知圆心M的轨迹是抛物线．] 4．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为(　　) A．y2＝－16x B．y2＝8x C．y2＝16x或y2＝－8x D．y2＝－16x或y2＝8x D　[抛物线的准线方程为x＝－，则＝3.解得m＝8或－16. 所以所求抛物线方程为 y2＝8x或y2＝－16x.] 5．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为(　　) A.(，－1) B．(，1) C．(1，2) D．(1，－2) A　[点Q(2，－1)在抛物线内部，如右图． 由抛物线的定义知，抛物线上的点P到焦点F(1，0)的距离等于点P到准线x＝－1的距离，过点Q作x＝－1的垂线，与抛物线交于点K，则点K为所求． 当y＝－1时，x＝，所以P(，－1).] 6．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A． B．1 C． D． C　[如下图，设E为AB的中点，过点A，B，E作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为C，D，G. 根据抛物线的定义，知 |AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝3. 根据梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为 (|AC|＋|BD|)－＝－＝.] 7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________． (1，0)　[圆M的圆心为(1，2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1.将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x.故抛物线C的焦点坐标为(1，0).] 8．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________． 4　[抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则MF的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．故最小值为4.] 9．根据下列条件求出抛物线的标准方程： (1)准线方程是y＝3； (2)过点P(－2，4)； (3)焦点到准线的距离为. 解　(1)由准线方程为y＝3知，抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y. (2)由点P(－2，4)在第二象限，设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0). 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由42＝－2p×(－2)，解得p＝2. 若抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则由(－2)2＝2p×4，解得p＝1. 所以所求抛物线的标准方程为 y2＝－4x或x2＝2y. (3)由焦点到准线的距离为，得p＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y. 10．已知直线l1：4x－3y＋6＝0，直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． A　[由题意可知，抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，则动点P到l2：x＝－1的距离可转化为|PF|.由右图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.] 11．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0，2)，则C的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝2x D．y2＝16x AD　[由已知得抛物线的焦点F(，0)， 设点M(x0，y0)， 则＝(，－2)，＝(，y0－2