2.2.2 双曲线的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．2　双曲线的简单几何性质 1．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x D　[双曲线－＝1的渐近线方程为－＝0，即y＝±x.] 2．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　) A． B． C．2 D．3 B　[设双曲线的两焦点分别为F1，F2， 由题意可知|F1F2|＝2c，|AB|＝2|AF1|＝4a. 在Rt△AF1F2中， 因为|AF1|＝2a，|F1F2|＝2c，|AF2|＝ ， 所以|AF2|－|AF1|＝－2a＝2a. 所以3a2＝c2.所以e＝＝.] 3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 C　[由已知得e＝＝2，所以a＝c.故b＝＝c.从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.由焦点到渐近线的距离为，得c＝.解得c＝2.故2c＝4.] 4．(多选题)已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小可能是(　　) A．15° B．25° C．60° D．165° ABD　[因为两条渐近线y＝±x的倾斜角分别为30°，150°， 所以0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°.] 5．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点D，E.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 B　[不妨设D位于第一象限．由题意可知双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b). 则|DE|＝2b.所以S△ODE＝·2b·a＝ab＝8. 所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝2时，等号成立． 所以c2的最小值为16.所以c的最小值为4. 所以C的焦距的最小值为2×4＝8.] 6．(2021·全国甲卷理)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． A　[因为|PF1|＝3|PF2|， 所以|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a. 所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a. 由余弦定理可得 4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos ∠F1PF2. 整理可得4c2＝7a2. 所以e2＝＝，即e＝.] 7．(多空题)已知双曲线－＝1的离心率为2，与椭圆＋＝1的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为________________；渐近线方程为______________． (4，0)，(－4，0)　y＝±x　[椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4.由＝2，得a＝2.故b＝＝2.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.] 8．(2021·全国乙卷理)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为_________． 4　[由渐近线方程x＋my＝0化简，得y＝－x，即＝.两边同时平方得＝.又双曲线中a2＝m，b2＝1，故＝.解得m＝3，m＝0(舍去).由c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，得c＝2.故焦距2c＝4.] 9．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程． (2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|. 解　(1)由题意知，2a＝6，＝. 解得a＝3，c＝5. 故b2＝c2－a2＝16. 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)因为a＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上． ①若点P在双曲线的左支上， 则|PF2|－|PF1|＝2a＝6， 所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16. ②若点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝6， 所以|PF2|＝|PF1|－6＝4. 综上，|PF2|＝16或4. 10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于(　　) A． B． C． D． A　[曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4， 所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2. 双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0. 因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2). 所以5b2＝4a2，b2＝a2