2.2.1 双曲线及其标准方程（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　) A.－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3) C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3) D　[由已知，动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，且a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16. 故所求轨迹方程为－＝1(x≥3).] 2．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为(　　) A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2 A　[因为已知方程表示双曲线， 所以(2＋m)(2－m)＞0. 所以－2＜m＜2.] 3．(多选题)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的(　　) A．2 B．－1 C．4 D．－3 AB　[设双曲线的方程为－＝1，则c＝3. 因为2a<2c＝6， 所以|2m－1|<6，且|2m－1|≠0. 所以－<m<，且m≠. 故选项A，B满足条件．] 4．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线，双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 D　[连接PF2，OT，则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4.于是有|MO|－|MT|＝(|PF1|－3)－(|PF1|－4)＝1.] 5．设F1，F2 是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上，且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A． B．3 C． D．2 B　[方法一　由题知a＝1，b＝，c＝2. 不妨令F1(－2，0)，F2(2，0). 如上图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2， 所以点P在以F1F2为直径的圆上． 则PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16. 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4. 所以|PF1||PF2|＝6. 所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3. 方法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4. 设点P的坐标为(x0，y0)，则 解得|y0|＝. 所以△PF1F2的面积为 |F1F2|·|y0|＝×4×＝3.] 6．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|. 解得|PF1|·|PF2|＝4.] 7．设θ∈(，π)，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是(　　) A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 B　[由题意知－＝1，因为θ∈(，π)，所以sin θ＞0，－cos θ＞0.则方程表示焦点在x轴上的双曲线．] 8．已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，|AF2|＝2，且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________． 4　[由题意知a＝1， 如右图，由双曲线定义知 |AF1|－|AF2|＝2a＝2， |BF1|－|BF2|＝2a＝2， 所以|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|. 由题意知|BA|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|， 所以|BA|＝|BF1|. 所以△F1AB为等腰三角形． 又∠F1AF2＝45°，所以∠ABF1＝90°. 所以△F1AB为等腰直角三角形． 所以|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2. 所以S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.] 9．(多空题)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|, 则|PF1|＝________，△PF1F2的面积等于________． 16　48　[在－＝1中，a＝3, b＝4, c2＝a2＋b2＝25，所以c＝5. 所以 |PF2|