2.1.2 椭圆的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.2　椭圆的简单几何性质 1．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　) A．a2＝15，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25 C．a2＝25，b2＝9 D．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 C　[由题意，得椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.] 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋＝1 D　[依题意得＝， 2a＋2c＝6.解得a＝2，c＝1.则b＝. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.] 3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A. B． C． D． C　[根据题意，可知c＝2，b2＝4， 所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2. 故椭圆C的离心率为e＝＝.] 4．(多选题)已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k＜9)，下列说法正确的是(　　) A．两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B．焦距相等 C．有相同的焦点 D．离心率相等 ABC　[两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故选项A正确； 曲线C1焦距为2c1＝2＝8，曲线C2焦距为2c2＝2＝8，故选项B，C正确； 曲线C1的离心率e1＝＝，曲线C2的离心率e2＝＝，故选项D不正确．] 5．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C．2－ D．－1 D　[由已知|PF2|＝2c，则|PF1|＝2c.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，即2c＋2c＝2a，所以e＝＝＝－1.] 6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． D　[在Rt△ABF中，|AB|＝ ，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0.解得e＝.因为0<e<1，所以e＝.] 7．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若椭圆＋＝1的离心率为，则 当0<m<4时，＝，解得m＝3. 当m>4时，＝，解得m＝. 故“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．] 8．(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点F1作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是(　　) A．椭圆C的方程为＋x2＝1 B．椭圆C的方程为＋y2＝1 C．|PQ|＝ D．△PF2Q的周长为4 ACD　[由已知，得＝；2b＝2，即b＝1. 又a2＝b2＋c2，解得a2＝3. 所以椭圆方程为x2＋＝1. 如上图，有|PQ|＝＝＝， △PF2Q的周长为4a＝4.] 9．(多空题)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则该椭圆的离心率是________，△ABF2的周长是________． 　8　[由题意得a＝2，c2＝a2－b2＝1. 所以e＝＝，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.] 10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过点P(2，3)，求此椭圆的标准方程． 解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0). 由题意得解得b2＝10，a2＝40. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a>b>0). 由题意得解得b2＝，a2＝25. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为 ＋＝1或＋＝1. 11．如右图，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　) A．35 B．30 C．25 D．20 A　[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，故原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.] 12．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，