2.1.1 椭圆及其标准方程（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　椭圆 1．1　椭圆及其标准方程 1．已知点A(－3，0)，B(0，2)在椭圆＋＝1上，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋＝1 B　[由题意得解得m2＝9，n2＝4. 所以椭圆的标准方程为＋＝1.] 2．若椭圆＋＝1(m＞0)的一个焦点坐标为(1，0)，则m的值为(　　) A．5 B．3 C． D． D　[根据题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，则有4－m2＝1.解得m＝±. 又m＞0，故m＝.] 3．(多选题)下列m的取值，能够使方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆的是(　　) A．m＝－2 B．m＝0 C．m＝－3 D．m＝ ACD　[若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则 解得m<－1或1<m<.] 4．已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a>0)的焦距为4，则a＝(　　) A．8 B．12 C．16 D．52 C　[由题意得2＝4.解得a＝16.] 5．命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是(　　) A．3<m<5 B．4<m<5 C．1<m<5 D．m>1 B　[若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m－1>5－m>0，解得3<m<5.所以p成立的充要条件是3<m<5.结合四个选项可知，p成立的充分不必要条件是4<m<5.] 6．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 D　[|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6＝|F1F2|，当|PF1|＋|PF2|>|F1F2|时，点P的轨迹是椭圆；当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，点P的轨迹是线段F1F2.] 7．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 C　[由题意，a2＝9，即a＝3. 则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6. 所以|MF1|·|MF2|≤()2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．] 8．已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的(　　) A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 A　[不妨设F1(－3，0)，F2(3，0). 由条件知，P(3，±)，则|PF2|＝. 由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4. 所以|PF1|＝.所以|PF1|＝7|PF2|.] 9．(多空题)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________________；其焦点坐标为____________． ＋＝1　(±1，0)　 [由题意知解得 则b2＝a2－c2＝3. 故椭圆的标准方程为＋＝1，焦点坐标为(±1，0).] 10．如右图，已知椭圆的方程为＋＝1，点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 解　由题意可知a＝2，b＝， 则c＝ ＝＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② ②代入①，解得|PF1|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|·sin 120°＝××2×＝， 即△PF1F2的面积是. 11．若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 A　[方法一　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由∠F1PF2＝90°，且|F1F2|＝8，知r＋r＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18. 所以S△PF1F2＝r1r2＝9. 方法二　S△PF1F2＝b2tan ＝9×tan 45°＝9.] 12．若α∈(0，)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　) A．(，) B．(0，] C．(0，) D．[，) A　[易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1. 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以>>