1.2.3 直线与圆的位置关系（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2.3　直线与圆的位置关系 1．直线x－y－4＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相交且过圆心 D．相离 D　[圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4， 则圆心到直线的距离d＝＝2>2. 故直线与圆相离．] 2．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线l的方程为(　　) A．y＝－3x或y＝x B．y＝3x或y＝－x C．y＝－3x或y＝－x D．y＝3x或y＝x A　[设直线l的方程为y＝kx. 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝， 所以圆心为(2，－1)，半径r＝＝. 由题意，得＝.解得k＝－3或. 故切线l的方程为y＝－3x或y＝x.] 3．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 A　[方法一　由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0. 则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5) ＝16m2＋20>0， 所以直线l与圆C相交. 方法二　因为圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆C相交 . 方法三　直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．] 4．(多选题)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为(　　) A． B． C．－ D．－ BD　[由题意可知OA＝OB＝，又△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，即＝1.所以a＝±.] 5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则圆C的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 A　[设圆心C为(a，b)，半径为r，则r＝1.由于圆心在第一象限，且与x轴相切，故b＝r＝1.则C(a，1).所以圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝＝r＝1.解得a＝2或a＝－(舍去). 故圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.] 6．过点(2，1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦最长的直线方程是(　　) A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0 A　[由题意可知被圆截得的弦最长的直线经过该圆圆心，即该直线过点(2，1)和圆心(1，－2). 故其方程为＝， 整理得3x－y－5＝0.] 7．由直线y＝x－1上的一点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 A　[在直线y＝x－1上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接PA，CA.在Rt△PAC中，|CA|＝r＝1.要使|PA|最小，则|PC|应最小．当PC与直线垂直时，|PC|最小，其最小值为＝，故|PA|的最小值为 ＝1.] 8．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 2　[最短弦为过点(3，1)且垂直于点(3，1)与圆心连线的弦． 易知弦心距d＝＝， 所以最短弦长为 2＝2＝2.] 9．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2，3)，且与圆M交于A，B两点，|AB|＝2，求直线l的方程． 解　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)， 即kx－y＋3－2k＝0. 如右图，作MC⊥AB于点C. 在Rt△MBC中， BC＝，MB＝2，MC＝ ＝1， 由点到直线的距离公式，得点M(1，1)到直线l的距离为＝1.解得k＝. 所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0. 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2， 圆心到此直线的距离也是1，所以符合题意． 综上，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2. 10．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．] 11．已知圆O：x2＋y2＝1，点A(－2，0)，点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，实数a的取值范围应是(　　) A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4