(配套教参)高效作业41 利用空间向量证明空间关系-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

　利用空间向量证明空间关系(见学生用书P379) 1．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是(　A　) A．n1＝(1，2，1)，n2＝(－3，1，1) B．n1＝(1，1，2)，n2＝(－2，1，1) C．n1＝(1，1，1)，n2＝(－1，2，1) D．n1＝(1，2，1)，n2＝(0，－2，－2) 【解析】 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直． 2．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　B　) A．垂直　　　　　　　B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 【解析】 由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，∴＝－3，∴与共线．又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD. 3．直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，则有(　B　) A．l∥α B．l⊥α C．l与α斜交 D．l⊂α或l∥α 【解析】 因为a＝(1，－3，5)，n＝(－1，3，－5)，所以a＝－n，a∥n.所以l⊥平面α. 4．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则(　C　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 【解析】 因为n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，所以α，β既不平行，也不垂直． 5．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　D　) A． B． C． D． 【解析】 ＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∴令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1).单位法向量为±＝±(，，).故选D. 6．[2023·盐城模拟] 同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax＋By＋C＝0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0，y0)，向量n＝(A，B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x，y)，则n·P0P＝0，得直线l的方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1，0，－2)，向量m＝(2，－3，1)为平面α的法向量，则平面α的方程为(　C　) A．2x－3y＋z＋4＝0 B．2x＋3y－z－4＝0 C．2x－3y＋z＝0 D．2x＋3y－z＋4＝0 【解析】 由题意可知，平面α的方程为2(x－1)－3(y－0)＋1·(z＋2)＝0，化简可得，2x－3y＋z＝0. 7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，B1C1的中点，则以下说法正确的是(　C　) A．BD1⊥平面DEF B．BD1∥平面CEF C．平面BDD1⊥平面DEF D．平面ACB1⊥平面DEF 【解析】 不妨设正方体棱长为2，如图，建立空间直角坐标系，则 E(2，1，2)，F(1，2，2)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)， ＝(2，1，2)，＝(1，2，2)，设平面DEF的法向量为m＝(a，b，c)∴ ∴令a＝2，b＝2，则c＝－3， 易得平面DEF的法向量为m＝(2，2，－3)， BD1＝(－2，－2，2)，因为m与BD1不平行，所以BD1与平面DEF不垂直，故A错． ＝(2，－1，2)，＝(1，0，2)，设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，∴ ∴令x＝2，y＝2，则z＝－1， 易得平面CEF的法向量为n＝(2，2，－1). 因为BD1·n＝－10≠0，所以BD1与平面CEF不平行，故B错． ＝(－1，1，0)，＝(2，2，0)， DD1＝(0，0，2). 因为所以EF⊥DB，EF⊥DD1. 又DB∩DD1＝D，DB⊂平面BDD1，DD1⊂平面BDD1， 所以EF⊥平面BDD1. 又EF⊂平面DEF，所以平面BDD1⊥平面DEF，故C正确． BD1·＝0，BD1·AB1＝0，AC∩AB1＝A， 则BD1为平面ACB1的一个法向量． BD1·m＝(－2，－2，2)·(2，2，－3)＝－14≠0，所以平面ACB1与平面DEF不垂直，故D错误． 故选C. 8．[2023·温州中学调研] 已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中错误的是(　C　) A．若α⊥γ，β∥α，则β⊥γ B．若α∥β，β∥γ，a⊥α，则a⊥γ C．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β D．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝b，则b⊥γ 【解析】 设平面α，β，γ的法向量分别为m，n，p， 对于A，由β∥α，得m∥n，m＝λn(λ≠0)，而α⊥γ，则m·p＝0，有