(配套教参)高效作业29 平面向量的数量积与平面向量应用举例-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

　平面向量的数量积与平面向量应用举例(见学生用书P355) 1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x等于(　A　) A．3　　　　　　　　　B．－3 C． D．－ 2．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝(　B　) A． B．2 C．2 D．4 3．在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(3，4)，则·＝(　A　) A．－5 B．－4 C．－3 D．－2 【解析】 ∵＝＋，＝－，∴2＝2＋2·＋2，2＝2－2·＋2， ∴2－2＝4·＝12＋22－(32＋42)＝－20，∴·＝－5. 4．[2023·扬州调研] 已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为(　B　) A．30° B．60° C．120° D．150° 【解析】 ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－18，∴a2－6b2－a·b＝－18，即|a|2－6|b|2－|a||b|·cos 〈a，b〉＝－18.又|a|＝3，|b|＝2，∴9－24－6cos 〈a，b〉＝－18，∴cos 〈a，b〉＝，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以a，b的夹角为60°. 5．点P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则点P是△ABC的(　D　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】 由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，则PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心． 6．[2023·淄博模拟] 已知在△ABC中，AB＝4，AC＝3，cos A＝.若D为边BC上的动点，则·的取值范围是(　C　) A．[4，12] B．[8，16] C．[4，16] D．[2，4] 【解析】 由题意得＝λ＋(1－λ)，0≤λ≤1， ·＝·[λ＋(1－λ)]＝λ2＋(1－λ)||·||cos ∠BAC＝16λ＋4－4λ＝12λ＋4∈[4，16]. 7．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，设D是BC边的中点，且△ABC的面积为1，则·(＋)等于(　B　) A．2 B．2 C．－2 D．－2 【解析】 ∵(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)(sin A－sin C)，∴由正弦定理可得(b＋c)b＝(a＋c)(a－c)，整理可得b2＋c2－a2＝－bc， ∴由余弦定理可得cos A＝－. 由A∈(0，π)，可得A＝， 又△ABC的面积为1，即bc sin ＝1， ∴bc＝4， ∴·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝－＝－＝－＝－·＝－bc cos A＝2. 8．两不共线的向量a，b满足|a|＝3|b|，且∀t∈R，|a－tb|≥|a－b|，则cos 〈a，b〉＝(　C　) A． B． C． D． 【解析】 由题意得∀t∈R，|a－tb|≥|a－b|，∴∀t∈R，|a|2＋t2|b|2－2ta·b≥|a|2＋|b|2－2a·b，即t2|b|2－6t|b|2cos 〈a，b〉－|b|2＋6|b|2cos 〈a，b〉≥0. ∵|b|≠0，∴∀t∈R，t2－6t cos 〈a，b〉－1＋6cos 〈a，b〉≥0， ∴Δ＝36cos2〈a，b〉－4(6cos 〈a，b〉－1)＝36(cos 〈a，b〉－)2≤0，∴cos 〈a，b〉－＝0，即cos 〈a，b〉＝. 9．[多选题][2023·苏州模拟] 设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(　AD　) A．a2＝|a|2 B．＝ C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 【解析】 由数量积的性质和运算律可知AD是正确的； 而运算后是实数，没有这种运算，B不正确； (a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝|a|2·|b|2cos2θ≠|a|2·|b|2＝a2·b2，C不正确． 故选AD. 10．已知向量a＝(－1，1)，b＝(－2，4)，若a∥c，a⊥(b＋c)，则|c|＝__3__． 【解析】 设c＝(x，y)，由a∥c，a⊥(b＋c)，得x＝－y，y－x＋6＝0，解得x＝3，y＝－3，所以|c|＝3. 11．[2023·绍兴模拟] 已知平面向量a＝(3，4)，非零向量b满足b⊥a，则b＝__(4，－3)__ .(答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可) 【解析】 平面向量a＝(3，4)，非零向量b满足b⊥a，设b＝(x，y)，则a·b＝3x＋4y＝0，∴可以取b＝(4，－3). 12．已知平面上两个不共线的向量a，b，其中a＝(1，2)，|b|＝2. (1)若(a＋2b)⊥(2a－b)，求向量a与向量b夹角的余弦