(配套教参)第三单元 函数、导数及其应用-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

专题进阶一　导数的综合应用 1．导数与不等式 (见学生用书P64) 导数与不等式问题主要有两类，一类是构造函数证明不等式，另一类是不等式有解与恒成立问题． 构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x<x<ex(x>0)，≤ln (x＋1)≤x(x>－1)；(3)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．(4)特征分析构造法(同构法)：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数． 不等式恒成立问题和有解问题一般可通过分类讨论、分离参数、构造函数、数形结合等方法来处理． (1)恒成立问题的转化： ①f(x)>0恒成立⇔f(x)min>0；f(x)<0恒成立⇔f(x)max<0. ②f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. ③f(x)>g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]min>0；f(x)<g(x)恒成立⇔[f(x)－g(x)]max<0. (2)有解问题的转化： ①f(x)>0有解⇔f(x)max>0; f(x)<0有解⇔f(x)min<0. ②f(x)>a有解⇔f(x)max>a; f(x)<a有解⇔f(x)min<a. ③f(x)>g(x)有解⇔[f(x)－g(x)]max>0；f(x)<g(x)有解⇔[f(x)－g(x)]min<0. 微专题1　用导数方法证明不等式 角度1　利用导数证明一元不等式 方法1　直接构造函数 例1　[2021·全国乙卷] 已知函数f(x)＝ln (a－x)，已知0是函数y＝xf(x)的极值点． (1)求a的值．(2)设函数g(x)＝，证明：g(x)<1. 解：(1)由题意，f(x)的定义域为 (－∞，a)， 令m(x)＝xf(x)，则m(x)＝x ln (a－x)，x∈(－∞，a)， 则m′(x)＝ln (a－x)＋x·＝ln (a－x)＋， 因为0是函数y＝xf(x)的极值点，则有 m′(0)＝0，即ln a＝0，所以a＝1. 当a＝1时，m′(x)＝ln (1－x)＋＝ln (1－x)＋＋1，且m′(0)＝0， 因为m″(x)＝＋＝<0，则m′(x)在(－∞，1)上单调递减， 所以当x∈(－∞，0)时，m′(x)>m′(0)＝0，m(x)在(－∞，0)上单调递增；当x∈(0，1)时，m′(x)<0，m(x)在(0，1)上单调递减，函数m(x)在x＝0处取极大值，所以当a＝1时，0是函数m(x)＝xf(x)的一个极大值点．综上所述，a＝1. (2)证明：由(1)可知，xf(x)＝x ln (1－x)，要证<1， 即需证明<1， 因为当x∈(－∞，0)时，x ln (1－x)<0，当x∈(0，1)时，x ln (1－x)<0， 所以需证明x＋ln (1－x)>x ln (1－x)，即证x＋(1－x)ln (1－x)>0. 令h(x)＝x＋(1－x)ln (1－x)，则h′(x)＝(1－x)·＋1－ln (1－x)， 所以h′(0)＝0，当x∈(－∞，0)时，h′(x)<0，当x∈(0，1)时，h′(x)>0，所以0为h(x)的极小值点，所以h(x)>h(0)＝0，即x＋ln (1－x)>x ln (1－x)，故<1，所以g(x)＝<1. [题后感悟] 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数．例如f(x)，g(x)，要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时，可以采用类比作差法，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或φ(x)＝g(x)－f(x)，证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0即可，在求最值的过程中，可以利用导数．此外，在能够说明g(x)>0(f(x)>0)的前提下，也可以采用类比作商法，构造函数h(x)＝，证明h(x)min≥1(φ(x)max≤1). 变式题　[2023·杭州模拟] 已知函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝bx＋5. (1)求a，b的值． (2)证明：(ex－1)x≥xf(x)－2. 解：(1)f(x)＝，f′(x)＝，则f′(1)＝1－a＝b，f(1