(配套教参)高分小卷·选填题5 导数及其应用-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

　导数及其应用(见学生用书P447) [建议时间：40分钟] 角度1　导数的几何意义及应用 1．[2023·苏州模拟] 曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角是(　B　) 　　 　　　　　 　　　　　 　 A． B． C． D． 【解析】 设曲线f(x)＝x3－1在x＝1处的切线倾斜角为α.因为f′(x)＝x2，则f′(1)＝，因为0≤α<π，所以α＝. 2．[多选题] [2023·徐州联考] 已知曲线f＝及点P，则过点P且与曲线y＝f相切的直线可能有(　BC　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【解析】 因为f＝，所以f′＝，设切点为，则f′(x0)＝，所以有整理得ex0(x0－1)(x0－s)＝ex0·x0，所以(x0－1)·(x0－s)＝x0.①当s＝0时，(x0－1)(x0－s)＝x0可化为x－2x0＝0，因为x0≠0， 所以x0＝2，因此过(0，0)只能找到一条与曲线相切的直线； ②当s≠0时，(x0－1)(x0－s)＝x0可化为x－(s＋2)x0＋s＝0， Δ＝(s＋2)2－4s＝s2＋4>0，且两根之积为s， 所以所求根之中一定不含0，此时对任意s能够找到两个x0满足条件． 综上所述，过点P且与曲线y＝f相切的直线可能有1条或2条．故选BC. 3．[2018·全国Ⅲ卷] 曲线y＝ex在点处的切线的斜率为－2，则a＝__－3__． 【解析】 y′＝aex＋ex，则y′|x＝0＝a＋1＝－2，所以a＝－3. 4．[2019·全国Ⅰ卷] 曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为__3x－y＝0__． 【解析】 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以k＝y′|x＝0＝3，则曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为y＝3x，即3x－y＝0. 5．[2022·新高考Ⅱ卷] 写出曲线y＝ln |x|过坐标原点的切线方程：__y＝x__，__y＝－x__． 【解析】 因为y＝ln ， 当x>0时，y＝ln x，设切点为，由y′＝，所以y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝.又切线过坐标原点，所以－ln x0＝，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝，即y＝x；当x<0时y＝ln ，设切点为，由y′＝，所以y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln ＝，又切线过坐标原点，所以－ln ＝，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝，即y＝－x. 6．[2019·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是__(e，1)__． 【解析】 设点A，则y0＝ln x0.又y′＝，当x＝x0时，y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线为y－y0＝(x－x0)，即y－ln x0＝－1，将点代入，得－1－ln x0＝－1，即x0ln x0＝e.令H(x)＝x ln x，当x∈时，H(x)<0，当x∈时，H(x)>0，且H′(x)＝ln x＋1，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，注意到H＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时y0＝1，故点A的坐标分别为. 7．[2023·沧州模拟] 已知l1，l2是曲线f(x)＝x ln x－ax的两条倾斜角互补的切线，且l1，l2分别交y轴于点A和点B，O为坐标原点，若|OA|＋|OB|>4，则实数a的最小值是__ln__2＋1__． 【解析】 设切线l1，l2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由函数f(x)＝x ln x－ax，求导可得f′(x)＝1＋ln x－a，由题意可知，f′(x1)＋f′(x2)＝0，即ln (x1x2)＝2a－2， 可得l1：y－y1＝f′(x1)(x－x1)，l2：y－y2＝f′(x2)(x－x2)，令x＝0，y＝(1＋ln x1－a)·(－x1)＋x1ln x1－ax1＝－x1，故A(0，－x1)，同理可得B(0，－x2)，则|OA|＋|OB|＝x1＋x2≥2＝2ea－1.由于x1≠x2，则等号不能取，即2ea－1≥4，解得a≥ln 2＋1，即a的最小值为ln 2＋1. 角度2　导数与单调性 8．[2022·新高考Ⅰ卷] 设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　C　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 【解析】 构造函数f(x)＝ln x＋，x>0，则f′(x)＝－，x>0， 令f′(x)＝0，得x＝1，∴当0<x<1时， f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时， f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x＝1处取最小值f(1)＝1，∴当x>0且x≠1时，ln x>1－， ∴l