(配套教参)高分小卷 解答题6 函数、导数-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

高分小卷 解答题6函数、导数 (见学生用书P481) [时间：90分钟] 1．[2020·北京卷] 已知函数f(x)＝12－x2. (1)求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程． (2)设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 解：(1)因为f(x)＝12－x2，所以f′(x)＝－2x，设切点为(x0，12－x)，则－2x0＝－2，即x0＝1，所以切点为(1，11)，由点斜式可得切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0. (2)显然t≠0，因为y＝f(x)在点(t，12－t2)处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，令x＝0，得y＝t2＋12，令y＝0，得x＝，所以S(t)＝×(t2＋12)·，不妨设t>0(t<0时，结果一样)， 则S(t)＝＝， 所以S′(t)＝＝＝＝， 由S′(t)>0，得t>2，由S′(t)<0，得0<t<2，所以S(t)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，S(t)取得极小值，也是最小值，为S(2)＝＝32. 2．[2021·新高考Ⅰ卷] 已知函数f(x)＝x(1－ln x). (1)讨论f(x)的单调性． (2)设a，b为两个不相等的正数，且b ln a－a ln b＝a－b，证明：2<＋<e. 解：(1)f′(x)＝－ln x，令f′(x)＝0，得x＝1， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减． (2)证明：∵b ln a－a ln b＝a－b， ∴－＝－， ∴＝， 令＝m，＝n，即证2<m＋n<e， ∴m(1－ln m)＝n(1－ln n). 令f(x)＝x(1－ln x)，由(1)知 当0<x<1时，f(x)单调递增；当x>1时， f(x)单调递减． ∵f(m)＝f(n)，∴0<m<1，1<n<e， 要证m＋n>2，即证f(n)<f(2－m)， 即证f(m)<f(2－m). 令F(x)＝f(x)－f(2－x)＝x(1－ln x)－(2－x)[1－ln (2－x)]，x∈(0，1)， F′(x)＝－ln x－ln (2－x)＝ln >0，F(x)单调递增， ∴F(x)<F(1)＝0，左边证毕．再证右边： ∵m(1－ln m)＝n(1－ln n)>m， 要证m＋n<e， 即证n(1－ln n)＋n<e， 令g(x)＝x(1－ln x)＋x，1<x<e， ∴g′(x)＝1－ln x－1＋1＝1－ln x>0， ∴g(x)在(1，e)上单调递增， ∴g(x)<g(e)＝e， ∴g(n)<e，证毕． 3．[2022·新高考Ⅱ卷] 已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性． (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围． (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln (n＋1). 解：(1)当a＝1时，f＝ex， 则f′＝xex，当x<0时，f′<0；当x>0时， f′>0，故f的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)设h＝xeax－ex＋1，则 h＝0， 又h′＝eax－ex，设 g＝eax－ex， 则g′＝eax－ex， 若a>，则g′＝2a－1>0， 因为g′为连续不间断函数， 故存在x0∈，使得∀x∈， 总有g′>0， 故g在上单调递增，故 g>g＝0， 故h在上单调递增，故 h>h＝0，与题设矛盾． 若0<a≤，则h′＝eax－ex＝eax＋ln (1＋ax)－ex， 下证：对任意x>0，总有ln <x成立． 证明：设S＝ln －x，故 S′＝－1＝<0， 故S在上单调递减，故 S<S＝0，即ln <x成立． 由上述不等式有eax＋ln (1＋ax)－ex<eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0， 故h′≤0总成立，即h在上单调递减， 所以h<h＝0. 当a≤0时，有h′＝eax－ex＋axeax<1－1＋0＝0， 所以h在上单调递减， 所以h<h＝0. 综上，a≤. (3)证明：取a＝，则∀x>0，总有xex－ex＋1<0成立， 令t＝ex，则t>1，t2＝ex，x＝2ln t， 故2t ln t<t2－1，即2ln t<t－对任意的t>1恒成立． 所以对任意的n∈N*，有2ln <－， 整理得到ln －ln n<， 故＋＋…＋>ln 2－ln 1＋ln 3－ ln 2＋…＋ln －ln n＝ln ，故不等式成立． 4．[2022·新高考Ⅰ卷] 已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值． (1)求a. (2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 解：(1)f(x