(配套教参)高分小卷 解答题3 立体几何-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

高分小卷 解答题3 立体几何 (见学生用书P471) [时间：90分钟] 1．[2021·新高考Ⅰ卷] 如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积． 解：(1)∵AB＝AD，O为BD的中点， ∴AO⊥BD. ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD. ∵CD⊂平面BCD，∴AO⊥CD. (2)取OD的中点F，连接CF， ∵△OCD为正三角形，∴CF⊥OD.过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，∴OM，OD，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则B(0，－1，0)，C，D(0，1，0)，设A(0，0，t)，则E，＝，＝，＝(0，0，t)，为平面BCD的一个法向量，设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则∴不妨设x＝， 则y＝－1，z＝，则n＝， ∵二面角E­BC­D的大小为45°， ∴＝＝， ∴t＝1， S△OCD＝×1×1×＝， ∴S△BCD＝， ∴VA­BCD＝S△BCD·OA＝××1＝. 2. [2022·新高考Ⅱ卷] 如图，PO是三棱锥P­ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点． (1)求证：OE∥平面PAC. (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C­AE­B的正弦值． 解：(1)连接BO并延长交AC于点D，连接OA，PD，如图1，因为PO是三棱锥P­ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO，BO⊂平面ABC，所以PO⊥AO，PO⊥BO. 又PA＝PB，所以△POA≌△POB，即OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA. 又AB⊥AC，即∠BAC＝90°，所以∠OAB＋∠OAD＝90°，∠OBA＋∠ODA＝90°， 所以∠ODA＝∠OAD，所以AO＝DO，即AO＝DO＝OB，所以O为BD的中点．又E为PB的中点，所以OE∥PD.又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC. (2)过点A作Az∥OP，如图2，建立空间直角坐 标系，因为PO＝3，AP＝5， 所以OA＝＝4. 又∠OBA＝∠OBC＝30°，BD＝2OA＝8，则AD＝4，AB＝4， 所以AC＝12，所以O， B，P， C，所以E. 则＝，＝， ＝，设平面AEB的法向量为n＝，则 令z＝2，则y＝－3， x＝0，所以n＝. 设平面AEC的法向量为m＝， 则令a＝， 则c＝－6，b＝0，所以m＝， 所以cos 〈n，m〉＝＝＝－. 设二面角C­AE­B的平面角为θ， 由图可知二面角C­AE­B为钝二面角， 所以cos θ＝－， 所以sin θ＝＝， 故二面角C­AE­B的正弦值为. 3．[2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC. (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD∥BC， 因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC.又因为AD⊂平面PAD， 平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l. 因为在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形， 所以AD⊥DC， ∴l⊥DC，且PD⊥平面ABCD， 所以AD⊥PD，∴l⊥PD.因为CD∩PD＝D， 所以l⊥平面PDC. (2)如图，建立空间直角坐标系， 因为PD＝AD＝1，则有D(0，0，0)， C(0，1，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)， 设Q(m，0，1)，则有＝(0，1，0)， ＝(m，0，1)，＝(1，1，－1)， 设平面QCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则z＝－m，所以平面QCD的一个法向量 为n＝(1，0，－m). 则cos 〈n，〉＝＝， 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的 绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD所成角的正弦值等 于|cos 〈n，〉|＝ ＝·＝· ≤·≤×＝， 当且仅当m＝1时取等号， 所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. B新全国Ⅰ卷地区模拟题演练 4．[2023·武汉调研] 如图，圆台上底面圆O1的半径为1，下底面圆O2的半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆O2上点C满足AC＝BC，PO1是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面ABO1的同侧，且PO1∥BC. (1)证明：平面PAC⊥平面ABC. (2