第六章 培优增分 概率与其他知识的交汇-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

类型一　概率与数列的交汇问题 某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子(形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)，若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，当获得19分或20分时，游戏结束．进行若干轮游戏，若最终得分为19分，则可得到200元礼券，若最终得分为20分，则可得到纪念品一份，最多进行19轮游戏．若游戏过程中累计得分为i分的概率为pi(初始得分为0分，p0＝1)． (1)证明数列{pi－pi－1}(i＝1，2，3…，19)是等比数列； 解析：(1)证明：i＝1，即累计得分为1分，代表第1次掷骰子，向上点数不超过2点，所以p1＝＝，p1－p0＝－1＝－.累计得分为i(i＝3，4…，19)分的情况有两种： ①前一次累计得分为(i－2)分，再掷一次骰子，点数超过2点，得2分，其概率为pi－2； ②前一次掷骰子累计得分为(i－1)分，再掷一次骰子，点数没超过2点，得1分，其概率为pi－1. 所以pi＝pi－2＋pi－1(i＝3，4，…，19)， 所以pi－pi－1＝－(pi－1－pi－2)(i＝3，4，…，19)． 易知p2＝p0＋p1，即p2－p1＝－(p1－p0)． 所以数列{pi－pi－1}(i＝1，2，3，…，19)是首项为－，公比为－的等比数列． (2)求活动参与者得到纪念品的概率． 解析：(2)因为数列{pi－pi－1}(i＝1，2，3，…，19)是首项为－，公比为－的等比数列． 所以pi－pi－1＝， 所以p1－p0＝－，p2－p1＝，…，pi－pi－1＝， 各式相加，得pi－p0＝－×， 所以pi＝＋×＝×(i＝1，2，3，…，19)． 所以活动参与者得到纪念品的概率为p20＝p18＝×＝×. 　　方法技巧 概率与数列的交汇问题的主要类型 1．求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望EXn的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式； 2．求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和； 3．利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限． 学生用书第175页 即时练1.为了避免就餐聚集，减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； 解析：(1)设A1＝“第1天选择米饭套餐”， A2＝“第2天选择米饭套餐”，1＝“第1天不选择米饭套餐”．根据题意P(A1)＝，P(1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|1)＝1－＝. 由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×＋×＝. (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn， ①证明：为等比数列； ②证明：当n≥2时，Pn≤. 解析：(2)证明：①设An＝“第n天选择米饭套餐”，则Pn＝P(An)，P(n)＝1－Pn，根据题意P(An＋1|An)＝，P(An＋1|n)＝1－＝. 由全概率公式，得Pn＋1＝P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P(n)P(An＋1|n)＝Pn＋(1－Pn)＝－Pn＋，因此Pn＋1－＝－.因为P1－＝≠0，所以是以为首项，－为公比的等比数列． ②由①可得Pn＝＋.当n为大于1的奇数时，Pn＝＋≤＋＝. 当n为偶数时，Pn＝－＜＜. 因此当n≥2时，Pn≤. 类型二　概率与函数的交汇问题 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本f (x)与产量x的函数关系式为f (x)＝－3x2＋20x＋10(x＞0)．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格g(x)与产量x的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格g(x)与产量x的函数关系式 好 0.4 g(x)＝164－3x 中 0.4 g(x)＝101－3x 差 0.2 g(x)＝70－3x 设Q1(x)，Q2(x)，Q3(x)分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量ξ表示当产量为x时而市场前景无法确定的利润． (1)分别求利润Q1(x)，Q2(x)，Q3(x)的函数关系式； 解析：(1)根据所给的表格中的数据和题意得 Q1(x)＝g(x)•x－f (x)＝－＋144x－10(x＞0)， Q2(x)＝g(x)•x－f (x)＝－＋81x－10(x＞0)， Q3(x)＝g(x)•x－f (x)＝－＋50x－10(x＞0)． (2)当产量x确定时，求均值Eξ. (2)由均值的定