第五章 4.2 二项式系数的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4.2　二项式系数的性质 [学习目标]　1.了解杨辉三角．　2.掌握二项式系数的性质．　3.会用赋值法求系数的和． 知识点一　杨辉三角 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，如图． 杨辉三角有何特点？ 提示：每行两端都是1，与这两个1等距离的项的二项式系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和． 杨辉三角的特点 1．每行两端都是1，与这两个1等距离的项的二项式系数相等，即C＝C． 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，即C＝C＋C． 3．在(a＋b)n的展开式中，各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. 如图所示，在“杨辉三角”中，第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和与第(n＋2)条细斜线上各数之和的关系如何？并证明你的结论． 解析：第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和等于第(n＋2)条细斜线上各数之和． 证明：第n条细斜线上各数和：C＋C＋C＋C＋C＋…，第(n＋1)条细斜线上各数和：C＋C＋C＋C＋C＋C＋…， 第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和： (C＋C＋C＋C＋…)＋(C＋C＋C＋C＋C＋…) ＝C＋(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋… ＝C＋C＋C＋C＋C＋…. 这正好是第(n＋2)条细斜线上各数之和． 　　方法技巧 　　解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法是：观察—分析—实验—猜想结论—证明，要得出“杨辉三角”中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 即时练1.如图所示是二项式系数在三角形中的几何排列，则第9行第8个数是________． 解析：由题意，第0行的数为1，第1行的数为C，C，第2行的数为C，C，C，第3行的数为C，C，C，C，第4行的数为C，C，C，C，C，因此，第n行第m个数为C，所以第9行第8个数是C＝C＝C＝＝36. 答案：36 学生用书第138页 知识点二　二项式系数的性质 结合杨辉三角的特点，二项式系数有哪些性质？ 提示：对称性；增减性与最大值；各二项式系数的和． 1．对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式C＝C得到．直线r＝将函数f (r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴． 2．增减性与最大值 当k＜时，二项式系数C随k的增加而增大；由对称性知当k＞时，二项式系数C随k的增加而减小，因此二项式系数在中间取得最大值．当n是偶数时，展开式的中间一项T＋1的二项式系数Cn最大；当n是奇数时，展开式的中间两项T与T＋1的二项式系数Cn，Cn相等且最大． 3．各二项式系数的和 (1)已知(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn，令x＝1，则2n＝C＋C＋C＋…＋C.这就是说，二项展开式的各个二项式系数的和为2n. (2)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n－1. 在二项式定理中，令a＝1，b＝－1，则(1－1)n＝C－C＋C－…＋(－1)kC－…＋(－1)nC，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 已知的展开式前三项的二项式系数的和等于37，求： (1)展开式中二项式系数最大的项的系数； 解析：(1)由的展开式前三项的二项式系数的和等于37，即C＋C＋C＝37，解得n＝8，即二项式为， 所以展开式中第5项的二项式系数最大， T5＝C×24x4＝x4，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为. (2)展开式中系数最大的项． 解析：(2)设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项，即T8＝C×27x7＝28x7，T9＝C×28x8＝28x8. 　　方法技巧 求二项展开式中系数的最值的方法 1．若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决． 2．若二项展开式的系数为f (k)＝C•mg(k)的形式． 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设其展开式的各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k＋1项系数最大，应用解出k，即得系数最大的项． 即时练2.已知(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解析：T6＝C•(2x)5，T7＝C•(2x)6，依题意有C•25＝C•26，解得n＝8.所以在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C•(2x)4＝1 120x4.设第k＋1项的系数最大，则有 解得5≤k≤6. 所以k＝5或k＝6(因为k∈{0，1，2，…，8})．所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792