第三章 2.1 第2课时空间向量的数量积-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　空间向量的数量积 [学习目标]　1.了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．　2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．　3.了解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．　4.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题． 知识点一　两个向量的夹角 在正△ABC中，平面向量与，与的夹角的大小分别为多少？能否把平面向量的夹角推广到空间向量？ 提示：60°，120°，能． 两个向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉. 范围 〈a，b〉的取值范围为[0，π]. 结论 (1)〈a，b〉＝〈b，a〉； (2)当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； (3)当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反； (4)当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 规定：零向量与任意向量垂直. [微提醒]　两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 解析：连接BD(图略)，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′. 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝135°， 〈，〉＝∠D′AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 　　方法技巧 1．由于零向量的方向是任意的，因此向量的夹角是对于非零向量而言的． 2．两个非零向量的夹角是唯一的，因此有〈a，b〉＝〈b，a〉，从而〈a，b〉＝〈－a，－b〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．特别地，〈，〉＝π－〈，〉．求空间向量夹角时，特别注意向量的方向． 即时练1.在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C　换换换[〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.故选C．] 即时练2.已知两个单位向量e1，e2互相垂直，则下列选项中的两个向量的夹角为45°的是(　　) A．e1－e2与e1＋e2 B．e2与e1－e2 C．e1与e2－e1 D．e1与e1＋e2 D　[如图，设＝e1，＝e2， 由平行四边形法则可知： e1＋e2＝，e1－e2＝，e2－e1＝，由向量的夹角定义可知，〈e1－e2，e1＋e2〉＝90°，〈e2，e1－e2〉＝135°，〈e1，e2－e1〉＝135°， 〈e1，e1＋e2〉＝45°.故选D．] 学生用书第85页 知识点二　两个向量的数量积 请回答以下问题： 1．平面向量的数量积a•b是如何定义的？ 提示：a•b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2．对于向量a，b，若a•b＝k，能否写成a＝？ 提示：不能，向量没有除法． 两个向量的数量积 定 义 已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a•b，即a•b＝|a||b|•cos〈a，b〉. 结 论 (1)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)； (2)|a|＝； (3)a⊥b⇔a•b＝0. 运 算 律 (1)交换律a•b＝b•a； (2)分配律a•(b＋c)＝a•b＋a•c； (3)(λa) •b＝λ(a•b)(λ∈R). [微提醒]　对于空间两个非零向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解． (1)向量a，b的数量积记为a•b，而不能表示为a×b或ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定．当θ为锐角时，a•b＞0，但当a•b＞0时，θ不一定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，a•b＜0，但当a•b＜0时，θ不一定是钝角，因为θ也可能为π. (链接教材P102 例3)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： (1)•； 解析：在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1. 〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)•＝||||cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)•(＋)． (2)(＋)•(＋) ＝(＋)•(－＋－) ＝(＋)•(＋－2) ＝2＋2•－2•＋2－2• ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1 ＝1. [变式探究] 1.(变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值： (1)•； 解析：(1)•＝• ＝||||•cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)•； 解析：(2)•＝•＝||2＝. (3)•. 解析：(3)•＝•＝||||•cos〈，〉＝