第三章 2.1 2.2 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　空间向量与向量运算 2.1　从平面向量到空间向量 2.2　第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．　2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其数乘向量的几何意义．　3.理解共线向量基本定理及推论． 知识点一　空间向量的有关概念 类比平面向量的知识，如何在空间中定义向量、零向量、单位向量等含义？ 提示：空间向量是平面向量在空间中的推广，其定义是在空间中把具有大小和方向的量叫作空间向量．零向量是规定模为0的向量，单位向量是模为1的向量． 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量 长度 或模 向量的大小叫作向量的长度或模 表示 方法 几何 表示 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号 表示 空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b，其模分别记为|a|，|b| 空间向量可用有向线段表示．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a可记作，其模记为|a|或|| 2. 几个特殊空间向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量 a与－a 特殊向量 定义 表示法 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或＝ 共线向量 或平行 向量 表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合 a∥b或∥ 共面向量 能平移到同一个平面内的三个向量叫作共面向量 [微提醒]　(1)零向量的长度为0，并规定零向量的方向是任意的．有向线段的起点A和终点B重合时，＝0. (2)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度．根据实际情况，“1”可以是1米，也可以是1毫米等． 给出下列命题： (1)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (2)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； (3)向量a，b相等的充要条件是 (4)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件． 其中正确的是________． 学生用书第80页 解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同，故(1)错误； a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b，故(2)正确； 由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故(3)错误； 因为＝，所以||＝||且AB∥DC． 又A，B，C，D不共线，所以四边形ABCD是平行四边形． 反之，在□ABCD中，有＝，故(4)正确． 答案：(2)(4) 　　方法技巧 空间向量的概念问题 　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 即时练1.下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足||＞||，则＞ D．相等向量其方向必相同 D　[A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反 向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D．] 即时练2.　如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； 解析：(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个． (2)试写出的相反向量； 解析：(2)向量的相反向量为，，，. (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解析：(3)||＝＝3. 知识点二　空间向量的加减法 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示：共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致． 空间向量的加减法运算 名称 加法 减法 代数 形式 a＋b＝＋＝ a＋b＝＋＝ a－b＝a＋(－b)＝－＝ 几何 形式 法则 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 向量减法a－b转化为向量加法a＋(－b) 学生用书第81页 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果所对应的向量： (1)－； 解析：(1)－＝－＝＋＝＋＝. (2)＋＋. 解析：(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＋＝＋＝. 向量，如图所示． 　　方法技巧 空间向量加法、减法运算的两个技巧 1．巧用相反向量：向量的三角