第三章 1 空间直角坐标系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　空间直角坐标系 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念，会用空间直角坐标系刻画点的位置．　2.会推导空间两点间的距离公式，能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题． 知识点一　空间直角坐标系 笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形． 类比笛卡尔坐标系，如何确定像空中一架飞机的位置、海洋中一艘潜艇的位置，如何确定空间中任意一点的位置呢？ 提示：为了确定空间中任意一点的位置，可以建立空间直角坐标系，用三元有序实数组(x，y，z)来确定该点的位置． 1．空间直角坐标系及相关概念 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面． 2．右手系 一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系． [微提醒]　(1)空间直角坐标系的三要素：原点、坐标轴正方向、单位长度． (2)画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.三个坐标平面把空间分成八个部分． 如图，已知在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD．怎样建立恰当的空间直角坐标系？ 解析：法一：在平面BCD中，过点B作BD的垂线l，由于AB⊥平面BCD，则AB⊥BD，AB⊥l，则以点B为坐标原点，直线l及BD，BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B-xyz.如图所示． 法二：本题除按上述方式建立空间直角坐标系外，还可以按如图1，图2所示的方式建立空间直角坐标系． 即时练1.(多选)下列空间直角坐标系中，是右手系的是(　　) AD　[按右手螺旋法则，AD正确．] 学生用书第76页 知识点二　点在空间直角坐标系中的坐标 [问题导思] 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝2，如图，如何刻画B′的位置？ 提示：以D点为坐标原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则点B′的坐标为(3，4，2)． 点在空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系： P↔(x，y，z)． 三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标． [微提醒]　(1)x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)． (2)y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)． (3)z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)． (链接教材P91例1)如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标． 解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系， 因为E点在平面xDy中，且|EA|＝. 所以E点的坐标为. 所以B点和B1点的坐标分别为(1，1，0)和(1，1，1)，故F点坐标为. 同理可得G点坐标为. (链接教材P92例2)在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0，2，4)，B(1，0，5)，C(0，2，0)，D(1，3，4)． 解析：先根据x，y确定各点在xOy平面上相对应点的位置，再根据它们的z坐标来确定出在空间直角坐标系的位置(如图)． 　　方法技巧 1．空间中点的位置和点的坐标是相对应的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来，因此，要确定各点到xOy面、yOz面、xOz面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用． 2．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2的中点P(x，y，z)坐标满足：x＝，y＝，z＝. 即时练2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标． 解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所