第三章 4.3 第2课时 空间中的距离问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　空间中的距离问题 [学习目标]　1.能用向量语言表述点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离．　2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的应用． 知识点一　点到平面的距离 如图，设点P是平面α外一点，点A是平面α内已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示：过点P作PP′⊥平面α，垂足为点P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，而∥n0，所以向量在法向量n0方向上的投影向量的长度|•n0|就等于线段PP′的长度． 点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|•n0|． [微提醒]　由于n0＝，所以d＝|•n0|＝＝(其中n为平面α的法向量)． (2023•福建三明一中高二上月考)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． D　换换换[由＝(－1，－2，4)，得点P到平面α的距离d＝＝.故选D．] (链接教材P133 例12)在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 解析：取AC的中点O，连接OS，OB． 因为SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SO，AC⊥BO. 因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，所以SO⊥平面ABC． 又BO⊂平面ABC，所以SO⊥BO. 如图所示，以O为坐标原点，以OA，OB，OS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O -xyz. 则B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，A(2，0，0)，M(1，，0)，N(0，，)． 所以＝(3，，0)，＝(－1，0，)， ＝(－1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 则取z＝1， 则x＝，y＝－， 所以n＝(，－，1)． 所以点B到平面CMN的距离d＝＝. 　　方法技巧 求点到平面的距离的主要方法 1．直接法：作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． 2．等体积法：在三棱锥中用等体积法求解． 3．向量法：用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤： (1)确定一个法向量； (2)选择参考向量； (3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量； (4)求投影向量的长度． [注意]　线面距、面面距实质上是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． 即时练1.在空间直角坐标系O -xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，2，－1)，已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d为(　　) A． B．2 C．1 D． D　换换换[由题意，平面OAB的一个法向量为n＝(2，2，－1)，P(－1，3，2)，所以＝(－1，3，2)， 所以点P到平面OAB的距离d＝ ＝＝.故选D．] 即时练2.正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，则点B1到平面ACD1的距离是____________． 解析：如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，1，1)，所以点B1到平面ACD1的距离d＝＝＝. 答案： 学生用书第106页 知识点二　点到直线的距离 如图，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的距离，如何求这个距离？ 提示：在直线l上任取一点A，求在向量方向上的投影向量的长度．在Rt△PP′A中，||＝|•l0|，于是，点P到直线l的距离为|PP′|＝＝ . 点到直线的距离 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝ . [微提醒]　若l为直线l的方向向量，则l0＝，所 以d＝. (2023•北京昌平二中高二上期中)已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． A　换换换[依题意得＝(－1，－1，2)，＝(1，1，－1)，则点C到直线AB的距离为d＝＝＝.故选A．] (链接教材P136 例15)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AD＝