第三章 4.3 第1课时 空间中的角-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 [学习目标]　1.能用向量语言表述线线、线面、面面所成角的概念．　2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面所成角的问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 知识点一　两条直线所成的角 在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，那么在空间中怎样用直线的方向向量描述两条直线所成的角？ 提示：空间两条直线所成的角由它们的方向向量所成的角确定．若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a和b所成的角θ∈，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补，cos θ＝|cos〈a，b〉|. 用向量运算求两条直线所成的角 若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈，且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补．也就是说： 当0≤〈a，b〉≤时，θ＝〈a，b〉； 当＜〈a，b〉≤π时，θ＝π－〈a，b〉． 故cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝. [微提醒]　(1)两直线的夹角θ与〈a，b〉并不完全相同，当〈a，b〉∈时，θ＝〈a，b〉；当〈a，b〉∈时，θ＝π－〈a，b〉． (2)两条异面直线所成的角θ的范围是. (3)空间两直线所成的角θ的范围是[0，]． 设u1＝(1，2，－2)，v2＝(－2，3，2)分别是直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角θ＝________． 解析：cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝0，所以θ＝. 答案： (链接教材P127 例8)如图，三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，且∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值． 解析：以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴，并作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(，0，0)，B(0，2，0)，A1(，1，)，O1(0，1，)，所以＝(－，1，－)，＝(，－1，－)． 设所求的角为α， 则cos α＝＝＝. 即异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为. 　　方法技巧 用坐标法求异面直线所成的角的一般步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； 第三步：利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量所成的角； 第四步：结合异面直线所成的角的范围求出异面直线所成的角． 即时练1.已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则直线l1与l2所成角的余弦值为(　　) A．－ B． C． D． C　[因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.又两条直线所成的角的取值范围为，所以直线l1与l2所成角的余弦值为.故选C．] 即时练2.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为(　　) A． B． C． D． B　[以O为坐标原点建系，如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.所以＝(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，所以cos〈，〉＝＝ ＝－，所以〈，〉＝， 所以异面直线B1C与AA1所成的角为.故选B．] 学生用书第102页 知识点二　直线与平面所成的角 直线的方向向量l与平面的法向量n所成的角是直线与平面所成的角θ吗？它们有怎样的关系？ 提示：不是，它们的关系为θ＝－〈l，n〉或θ＝〈l，n〉－，sin θ＝|cos〈l，n〉|. 用向量运算求直线与平面所成的角 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(如图①)或θ＝〈l，n〉－(如图②)，故sin θ＝|cos〈l，n〉|＝＝. [微提醒]　如果l与n的夹角〈l，n〉是一个锐角，则θ＝－〈l，n〉；如果〈l，n〉是一个钝角，则θ＝〈l，n〉－. (2023•山东济宁高二质量检测)已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，直线l的一个方向向量为m＝(1，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． A　[设直线l与平面α所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，m〉|＝＝＝.故选A．] (链接教材P128 例9)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值． 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)， 所以＝(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，－1，0)．设平面