第三章 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 [学习目标]　1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．　2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理及其应用． 知识点一　用向量研究平行与垂直 平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么图①—图⑥如何用向量方法进行研究？ 提示：因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键因素，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平面间的平行、垂直等位置关系． 图①：l∥m或l与m重合⇔l∥m⇔∃λ∈R，使得l＝λm， 图②：l∥α或l⊂α⇔l⊥n1⇔l•n1＝0， 图③：α∥β或α与β重合⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2， 图④：l⊥m⇔l⊥m⇔l•m＝0， 图⑤：l⊥α⇔l∥n1⇔∃λ∈R，使得l＝λn1， 图⑥：α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1•n2＝0. 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 (1)l∥m或l与m重合⇔l∥m； (2)l∥α或l⊂α⇔l⊥n1； (3)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2； (4)l⊥m⇔l⊥m； (5)l⊥α⇔l∥n1； (6)α⊥β⇔n1⊥n2． [微提醒]　直线的方向向量不是唯一的，解题时，优先选取坐标较简单的方向向量；一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行． 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)不重合的直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)； 解析：(1)因为a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，所以a＝－b， 所以a∥b，即l1∥l2. (2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)； 解析：(2)因为a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)，所以a•b≠0且a≠kb(k∈R)， 所以a，b既不共线也不垂直，所以l1与l2相交或异面． 学生用书第98页 (3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2)，v＝(3，2，－)； 解析：(3)因为u＝(1，－1，2)，v＝， 所以u•v＝3－2－1＝0，所以u⊥v，所以α⊥β. (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)； 解析：(4)因为u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)，所以u•v≠0且u≠kv(k∈R)， 所以u与v既不共线也不垂直，所以α和β相交但不垂直． (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)． 解析：(5)因为a＝(0，－8，12)，u＝(0，2，－3)， 所以u＝－a， 所以u∥a，所以l⊥α. 　　方法技巧 1．两条不重合的直线的方向向量共线时，这两条直线平行；否则这两条直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直． 3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直． 即时练1.已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 A　[因为a•b＝(4，－1，0)•(1，4，5)＝4－4＋0＝0，a•c＝(4，－1，0)•(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b•c＝(1，4，5)•(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0，所以a⊥b，a与c不垂直，b⊥c，所以l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.故选A．] 即时练2.(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　) A．a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) AD　换换换[在A中，a•n＝0，有可能使l∥α.在B中，a•n＝1＋0＋5＝6，不可能使l∥α.在C中，a•n＝－1，不可能使l∥α.在D中，a•n＝0－3＋3＝0，有可能使l∥α.故选AD．] 即时练3.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证： (1)PB∥平面EFG； 证明：　(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C