第三章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 [学习目标]　1.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直．　2.掌握空间向量的模、夹角公式，并能运用这些知识解决一些相关问题． 知识点一　空间向量运算的坐标表示 空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？ 提示：点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)． 1．标准正交基 在空间直角坐标系O -xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基． 2．空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得 p＝xi＋yj＋zk. 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应．这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝(x，y，z)． 单位向量i，j，k都叫作坐标向量．xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的投影向量，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量． 3．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 4．设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)； (3)λa＝(λx1，λy1，λz1)，λ∈R； (4)a•b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，a•b，(2a)•(－b)，(a＋b)•(a－b)． 解析：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a•b＝(2，－1，－2)•(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)•(－b)＝－2(a•b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)•(a－b)＝(2，－2，2)•(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标： (1)＝(－)； 解析：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)． (1)＝(－)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为. (2)＝(－)． 解析：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)． (2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)． 因为＝(－)＝， 所以解得 则点P的坐标为. 　　方法技巧 关于空间向量坐标运算的两类问题 1．直接计算问题： 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算(如例1)． 2．由条件求向量或点的坐标： 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标(如例2)． 即时练1.已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　) A．(－7，10，24) B．(7，－10，－24) C．(－6，8，24) D．(－5，6，24) D　[因为a＝(－3，4，12)，且＝2a，所以＝(－6，8，24)．因为A的坐标为(1，－2，0)，所以＝(1，－2，0)，＝＋＝(－6＋1，8－2，24＋0)＝(－5，6，24)，所以点B的坐标为(－5，6，24)．故选D．] 即时练2.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a•(－2b)＝________，(a－b)•(2a－3b)＝________． 解析：a•(－2b)＝－2a•b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．所以(a－b)•(2a－3b)＝(1，0，－1)•(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 答案：－2　5 学生用书第92页 知识点二　空间向量平行(共线)和垂直的条件 设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？ 提示：a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 空间向量平行(共线)和垂直的条件 设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得 (2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时， a∥b⇔＝＝． (3)