第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 [学习目标]　1.会求直线被圆锥曲线所截的弦长．　2.掌握有关圆锥曲线的范围和最值问题． 知识点　直线与圆锥曲线的综合问题 当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？ 提示：当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝， 所以|AB|＝＝ ＝ ， 或|AB|＝ ＝ ＝ . 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得． 当直线斜率不存在时，可代入直接求得． 1．圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线有两个交点时，以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长． 2．圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|. (链接教材P79 例5)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． 解析：因为直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2，所以直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 法一：由方程组 得交点A(0，－2)，B . 所以|AB|＝ ＝ ＝. 法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝0. 因为|AB|＝＝＝ ＝ ＝. 　　方法技巧 求弦长的两种方法 1．求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解． 2．结合根与系数的关系，利用弦长公式l＝或l＝求解． 即时练1.已知斜率为2的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长为9，则p＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 C　[由题意可设直线l的方程为y＝2，联立方程，消去y整理得4x2－5px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＝9，解得p＝4.故选C．] 即时练2.已知双曲线－＝1的左右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与双曲线相交于A，B两点，则满足|AB|＝3的直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　换换换[双曲线－＝1，过F1 的直线l垂直于x轴时，|AB|＝＝＝3；双曲线两个顶点的距离为2，所以满足|AB|＝3的直线l有3条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交．故选C．] 过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦AB，使弦AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程． 解析：法一：若所求直线的斜率不存在，则弦AB与x轴垂直，由椭圆的对称性可知，弦AB的中点是它与x轴的交点(2，0)，不符合题意，因此所求直线的斜率存在．(只有说明该点，才能设直线的斜率为k) 设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0(*)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根，于是x1＋x2＝，又M为弦AB的中点， 所以＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为M(2，1)为弦AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16　①， x＋4y＝16　②， ①－②，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以＝－＝－＝－，即kAB＝－. 故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 　　方法技巧 设而不求思想与点差法的完美结合 本题体现了设而不求、整体代换的思想及点差法的运用．在研究直线被圆锥曲线截得的中点弦问题时，常设出弦端点的坐标，并代入圆锥曲线方程得两式，将两式相减，这种解题方法称为“设点求差法”，简称“点差法”． 学生用书第69页 即时练3.过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________． 解析：法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)． 由消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝. 又y1＋y2＝2，所以＝2，解得k＝4. 故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. 法二：由题意知，当AB垂