第一章 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程　 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 [学习目标]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念．　3.理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　一次函数的图象与直线的方程 在平面直角坐标系中，如何画一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象？其图象是什么形状？ 提示：　一次函数的图象的画法：经过两点(0，b)，或(1，k＋b)作直线y＝kx＋b，其图象是一条直线． 1．定义：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y＝kx＋b(b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．当b＝0时，称y是x的正比例函数． 2．一般地，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的． (多选)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴，y轴分别交于点(2，0)，点(0，3)，则下列结论正确的是(　　) A．图象经过点(1，－3) B．关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2 C．关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝0 D．当x＞2时，y＜0 BCD　把点(2，0)，点(0，3)代入y＝kx＋b得解得所以一次函数的解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝，所以图象不经过点(1，－3)，故A不正确；由图象得关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2，故B正确；关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝0，故C正确；当x＞2时，y＜0，故D正确．故选BCD．] 　　方法技巧 　　一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线(正比例函数的图象是过原点的直线)，但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行(或重合)的直线，就不是一次函数的图象． 即时练1.已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数)的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限，则下列结论一定正确的是(　　) A．kb＞0 B．kb＜0 C．k－b＞0 D．k＋b＜0 A　因为一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限，所以k＞0，b＞0，所以kb＞0.故选A．] 即时练2.一次函数y＝(m－2)x＋3的图象如图所示，则m的取值范围是________． 解析：　由图知一次函数y＝(m－2)x＋3的图象经过第一、二、四象限，所以解得m＜2，所以m的取值范围为(－∞，2)． 答案：　(－∞，2) 学生用书第2页 知识点二　直线的倾斜角 请回答以下问题： 1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：　两点确定一条直线，一个点与一个方向也可以确定一条直线． 2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角． 2．规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0． 3．范围：倾斜角α的取值范围为[0，π)． [微提醒]　(1)在倾斜角的定义中，要注意如下三点：①x轴正方向；②逆时针方向绕交点旋转；③与直线l首次重合(最小正角)． (2)倾斜角从“形”的方向直观地描述了直线对x轴的正方向的倾斜程度．所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度．倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；不同的直线可以有相同的倾斜角． (1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) (2)一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．αB．180°－α C．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α 解析：　(1)根据倾斜角的概念知，AC正确，BD错误．故选AC．(2)如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D． 答案：　(1)AC　(2)D 　　方法技巧 求直线倾斜角的方法及注意点 1．方法：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°． 2．两点注意： (1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°． (2)注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜