第一章 培优增分2 与圆有关的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

类型一　对称问题 对称问题主要有以下几类：(1)点关于点的对称问题；(2)点关于线的对称问题；(3)线关于点的对称问题；(4)线关于线的对称问题． 角度1　中心对称问题 (1)(2023·四川遂宁高二期中)若点A(4，0)与点B关于点(2，1)对称，则点B的坐标为(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) B　设B(a，b)，由题知，线段AB的中点是(2，1)，则解得所以点B的坐标为(0，2)．故选B．] (2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程． 解析：　法一：设直线l上任一点为M(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且点M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二：在直线3x－y－4＝0上任取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)的对称点为B1(3，－1)，由两点式方程，可得直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三：由题意可得，直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0(m≠－4)，点P(2，－1)到直线3x－y－4＝0的距离d＝，由于点P(2，－1)到两直线距离相等，所以＝，解得m＝－10或m＝－4(舍去)，所以直线l的方程为3x－y－10＝0. 1.点关于点对称 点关于点的对称问题是最基本的对称问题，用中点坐标公式求解．点M(a，b)关于点(x0，y0)的对称点为M′(2x0－a，2y0－b)．特别地，点M(a，b)关于原点的对称点是(－a，－b)． 2．直线关于点对称 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A(－x)＋B(－y)＋C＝0.　　方法技巧 即时练1.(2023·湖南衡阳市调研)已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝(　　) A．－5 B．14 C．－14 D．5 C　由题意知即 解得故ab＝7×(－2)＝－14.故选C．] 即时练2.(2023·重庆巴南中学高二期中)将一张坐标纸折叠一次，使点(2，0)与(－6，8)重合，则折痕所在直线方程是(　　) A．x－y－6＝0 B．x＋y＋6＝0 C．x＋y－6＝0 D．x－y＋6＝0 D　设A(2，0)，B(－6，8)，由题意得＝－2，＝4，所以线段AB的中点坐标为(－2，4)．又kAB＝＝－1，所以折痕所在直线方程的斜率为1，故折痕所在直线方程是y－4＝x＋2，即x－y＋6＝0.故选D．] 角度2　轴对称问题 (1)已知直线l：y＝3x＋3，则点P(4，5)关于l的对称点的坐标为________． 解析：　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，即 解得所以点P′的坐标为(－2，7)． (2)求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程． (2)解方程组得所以直线l1与l相交，且交点为E(3，－2)，故点E也在直线l2上． 在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，于是有解得 即点B的坐标为.故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0. 答案：　(1)(－2，7) 　　方法技巧 1.点关于直线对称 点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称的对称点(x2，y2)可由 得出． 常见的点关于直线的对称点： (1)点P(x0，y0)关于x轴的对称点P′(x0，－y0)； (2)点P(x0，y0)关于y轴的对称点P′(－x0，y0)； (3)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点P′(y0，x0)； (4)点P(x0，y0)关于直线y＝－x的对称点P′(－y0，－x0)． 2．直线关于直线对称 若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程；若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．常见的直线的关于直线对称有以下几种情况： 设直线l为Ax＋By＋C＝0， (1)l关于x轴对称的直线的方程是Ax＋B(－y)＋C＝0； (2)l关于y轴对称的直线的方程是A(－x)＋