第一章 培优增分2 与圆有关的最值_1-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

类型一　与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题包括： (1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r； (2)求圆上的点到某条直线(相离)的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r； (3)已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解． 角度1　与距离有关的最值问题 (1)(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为(　　) A．±2 B．± C．± D．±3 解析：　(1)设直线l与y轴交于点A(0，m), 由题意知，圆心C(0，0)，当k的值发生变化时，要使直线l被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线l的距离最大，为|AC|，即|m|＝＝，所以m＝±.故选C． (2)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，由点(a，b)向该圆引切线，则切线长的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)由题意得圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1，2)，半径为，因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称， 所以圆心位于该直线上，所以－2a＋2b＋6＝0，即点(a，b)在直线l：－x＋y＋3＝0上， 设D(a，b)，过点D作圆C的切线，切点为E，则|DE|＝＝， 要使|DE|最小，则只需|CD|最小，|CD|的最小值即过点C作直线l：－x＋y＋3＝0的垂线段的长， 此时|CD|＝＝3，|CE|＝r＝，所以|DE|＝＝4.故选B． 答案：　(1)C　(2)B 　　方法技巧 与距离有关的最值解题策略 图形 结论 圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r 直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2，最大值＝2r 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝ 即时练1.若圆C的方程为x2＋y2＋4x＋4y＋5＝0，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则|OP|的最大值为(　　) A．2＋ B．2－ C．2＋ D．2－ C　[圆C的圆心为(－2，－2)，半径为r＝＝，|OP|的最大值为|OC|＋r＝2＋.故选C．] 即时练2.在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y21＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　) A． B． C． D． B　由已知得点(x1，y1)在圆 (x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方， 而距离的最小值为－＝，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.故选B．] 学生用书第40页 角度2　利用代数式的几何意义求解最值问题 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； 解析：　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； 解析：　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)求x＋y的最大值与最小值． 解析：　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小