第六章 5 正态分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

§5　正态分布 　 第六章　概率 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．　 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．　 3.了解正态分布的均值、方差及其含义．　 4.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． 学习目标 课 时 精 练 知识点二　3σ原则 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　正态分布 内 容 索 引 知识点一　正态分布 索引 自然界与工程技术中的随机变量是最常见的．诸如，机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、重量、使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点．它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴． 问题：　这种变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？ 提示：构建正态分布概率模型刻画连续型随机变量． 问题导思 1．正态分布与正态曲线 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为 φμ，σ(x)＝__________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线．记为X～N(μ，σ2)，其中EX＝μ，DX＝σ2. 新知形成 2．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称． (3)曲线的最高点位于x＝μ处． (4)当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线(如图所示)． 3．正态曲线的特点 (1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿_____平移． (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“______”，表示总体的分布越______；σ越小，曲线越“______”，表示总体的分布越集中． x轴 矮胖 分散 高瘦 (链接教材P216例1)如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差． 例1 正态密度函数解析式的求法 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值 ，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式． 方法技巧 A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 √ 因为正态曲线关于直线x＝μi对称，所以μ1＜μ2＝μ3.因为σ越小曲线越“瘦高”，所以函数y＝φ2(x)中的σ2比函数y＝φ3(x)中的σ3要小，函数y＝φ1(x)中的σ1和y＝φ2(x)中的σ2值相等．故选D． 索引 知识点二　3σ原则 索引 如果一个随机变量X服从正态分布，那么3σ原则指的是什么？ 提示：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则． 问题导思 1．如图，正态分布随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ](σ＞0)上取值的概率为阴影部分的面积． 特别地， P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 2．在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则． 新知形成 设X～N(1，4)，试求： (1)P(－1≤X≤3)； 易知X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 6. 例2 易知X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (2)P(－1≤X≤1)； (3)P(3≤X≤5)； 易知X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)， 易知X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. 因为P(X＞5)＝P(X＜－3)， (4)P(X＞5)． 利用正态分布求概率的两个方法 1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间的概率相等．如： (1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)． (2)P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． 2．“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6，0.954 4，0.997 4求解． 方法技巧 即时练2.已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0＜X＜3)＝0.5，P(0＜X＜1)＝0.2，则P(X＜3)＝ A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 由题意可得P(1