第五章 4.2 二项式系数的性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

4.2　二项式系数的性质 　 第 五 章 §4　二项式定理 1.了解杨辉三角．　 2.掌握二项式系数的性质．　 3.会用赋值法求系数的和． 学习目标 课 时 精 练 知识点二　二项式系数的性质 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　杨辉三角 内 容 索 引 知识点一　杨辉三角 索引 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，如图． 杨辉三角有何特点？ 提示：每行两端都是1，与这两个1等距离的项的二项式系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和． 问题导思 杨辉三角的特点 1．每行两端都是___，与这两个1等距离的项的二项式系数相等，即________． 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，即_______________． 新知形成 1 如图所示，在“杨辉三角”中，第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和与第(n＋2)条细斜线上各数之和的关系如何？并证明你的结论． 例1 第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和等于第(n＋2)条细斜线上各数之和． 第n条和第(n＋1)条细斜线上各数之和： 这正好是第(n＋2)条细斜线上各数之和． 　　解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法是：观察—分析—实验—猜想结论—证明，要得出“杨辉三角”中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察． 方法技巧 即时练1.如图所示是二项式系数在三角形中的几何排列，则第9行第8个数是________． 36 索引 知识点二　二项式系数的性质 索引 结合杨辉三角的特点，二项式系数有哪些性质？ 提示：对称性；增减性与最大值；各二项式系数的和． 问题导思 1．对称性 新知形成 2．增减性与最大值 3．各二项式系数的和 (1)展开式中二项式系数最大的项的系数； 例2 所以展开式中第5项的二项式系数最大， (2)展开式中系数最大的项． 设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 求二项展开式中系数的最值的方法 1．若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决． 2．若二项展开式的系数为f (k)＝C •mg(k)的形式． 方法技巧 即时练2.已知(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 所以k＝5或k＝6(因为k∈{0，1，2，…，8})．所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 设(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 024的值； 令x＝1，得(1－2)2 024＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1. ① 例3 (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值； 令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2 024＝32 024. ② ①－②得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2 023)＝1－32 024， (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|的值． 所以a2r＋1＜0，a2r＞0(r∈N)． 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 024|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝32 024. (变设问)在本例条件下，求a1＋a2＋a3＋…＋a2 024的值． 令x＝0，得(1－0)2 024＝a0，解得a0＝1， 又a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，所以a1＋a2＋…＋a2 024＝0. 变式探究 二项展开式中系数和的求法 1．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2．一般地，若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则f (x)展开式中各项系数之和为f (1)， 方法技巧 索引 综　合　应　用 索引 整除或求余数问题 例4 (2)若n为正整数，求证：32n＋3－24n＋37能被64整除． 所以32n＋3－24n＋37能被64整除． 整除或求余数问题的处理方法 1．解决这类问题，可构造一个与题目条件有关的二项式． 2．用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面一两项(或者某些项)就可以了． 3．要注意余数的范围，对给定的整数a，b(b≠0)，有确定的一对整数q和r，满足a＝bq＋r，其中b为除数，r为余数，r∈[0，|b|)，利用二项式定理展开式变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数