第三章 2.1 2.2 第2课时 空间向量的数量积-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

第2课时　空间向量的数量积 　 第 三 章 2.1　从平面向量到空间向量　2.2　空间向量的运算 1.了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．　 2.掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．　 3.了解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．　 4.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题． 学习目标 课 时 精 练 知识点三　投影向量与投影数量 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点二　两个向量的数量积 知识点一　两个向量的夹角 内 容 索 引 知识点一　两个向量的夹角 索引 提示：60°，120°，能． 问题导思 两个向量的夹角 新知形成 定义   已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作 ＝b，则__________叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉. ∠AOB 范围 〈a，b〉的取值范围为___________. 结论 (1)〈a，b〉＝〈b，a〉； (2)当〈a，b〉＝0时，向量a与b__________； (3)当〈a，b〉＝π时，向量a与b__________； (4)当〈a，b〉＝ 时，称向量a，b__________，记作a⊥b. 规定：零向量与任意向量______. [0，π] 方向相同 方向相反 互相垂直 垂直 两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． 微提醒 例1 连接BD(图略)，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′. 1．由于零向量的方向是任意的，因此向量的夹角是对于非零向量而言的． 方法技巧 A．30° B．60° C．120° D．150° √ 即时练2.已知两个单位向量e1，e2互相垂直，则下列选项中的两个向量的夹角为45°的是 A．e1－e2与e1＋e2 B．e2与e1－e2 C．e1与e2－e1 D．e1与e1＋e2 √ 由平行四边形法则可知： 〈e1，e1＋e2〉＝45°.故选D． 索引 知识点二　两个向量的数量积 索引 请回答以下问题： 1．平面向量的数量积a•b是如何定义的？ 提示：a•b＝|a||b|cos〈a，b〉． 提示：不能，向量没有除法． 问题导思 两个向量的数量积 新知形成 定 义 已知两个空间向量a，b，把_______________________叫作a与b的数量积，记作a•b，即a•b＝_________________________. 结 论     (3)a⊥b⇔a•b＝0. 运 算 律 (1)交换律a•b＝______； (2)分配律a•(b＋c)＝a•b＋a•c； (3)(λa) •b＝__________(λ∈R). |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|•cos〈a，b〉 b•a λ(a•b) 对于空间两个非零向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解． (1)向量a，b的数量积记为a•b，而不能表示为a×b或ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定．当θ为锐角时，a•b＞0，但当a•b＞0时，θ不一定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，a•b＜0，但当a•b＜0时，θ不一定是钝角，因为θ也可能为π. 微提醒 (链接教材P102 例3)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： 例2 ＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. 1.(变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值： 变式探究 求空间向量数量积的步骤 第一步：将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； 第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； 第三步：代入a•b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 方法技巧 索引 知识点三　投影向量与投影数量 索引 在同一个平面内，向量b在向量a方向上的投影向量有什么意义？ 提示：向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos θ•a0，其中θ为向量a，b的夹角，a0为a方向上的单位向量． 问题导思 1．投影向量 点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量_______为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于_________________． 当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉____0(如图(1))； 当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉____0(如图(2))； 新知形成 ||b|cos〈a，b〉| ＞ ＜ ＝ 2．投影数量 (1)若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为： (2)结合空间向