第三章 2.1 2.2 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

第1课时　空间向量及其线性运算 　 第 三 章 2.1　从平面向量到空间向量　2.2　空间向量的运算 1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．　 2.掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其数乘向量的几何意义．　 3.理解共线向量基本定理及推论． 学习目标 课 时 精 练 知识点一　空间向量的有关概念 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点三　空间向量的数乘运算 知识点二　空间向量的加减法 内 容 索 引 知识点一　空间向量的有关概念 索引 类比平面向量的知识，如何在空间中定义向量、零向量、单位向量等含义？ 提示：空间向量是平面向量在空间中的推广，其定义是在空间中把具有大小和方向的量叫作空间向量．零向量是规定模为0的向量，单位向量是模为1的向量． 问题导思 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 新知形成 定义 在空间中，我们把具有______和______的量叫作空间向量 长度或模 向量的______叫作向量的长度或模 大小 方向 大小 表示 方法 几何 表示 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的______表示空间向量的模   符号 表示 空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b，其模分别记为__________ 空间向量可用有向线段表示．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a可记作______，其模记为|a|或 长度 |a|，|b| 2. 几个特殊空间向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为___的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或| |＝1 相反向量 方向______且模______的向量互为相反向量 a与－a 0 相反 相等 特殊向量 定义 表示法 相等向量 方向______且模______的向量 共线向量或 平行向量 表示向量的两条有向线段所在的直线____________ 共面向量 能平移到同一个平面内的三个向量叫作共面向量   相同 相等 平行或重合 (1)零向量的长度为0，并规定零向量的方向是任意的．有向线段的起点A和终点B重合时， ＝0. (2)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度．根据实际情况，“1”可以是1米，也可以是1毫米等． 微提醒 给出下列命题： (1)若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (2)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； 例1 其中正确的是________． (2)(4) 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同，故(1)错误； a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b，故(2)正确； 由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故(3)错误； 又A，B，C，D不共线，所以四边形ABCD是平行四边形． 空间向量的概念问题 　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 方法技巧 即时练1.下列关于空间向量的说法中正确的是 A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 D．相等向量其方向必相同 A中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B中，单位向量模都相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D． √ 即时练2.　如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与 相等的所有向量； 索引 知识点二　空间向量的加减法 索引 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ 提示：共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致． 问题导思 空间向量的加减法运算 新知形成 b＋a a＋(b＋c) 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果所对应的向量： 例2 空间向量加法、减法运算的两个技巧 1．巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． 2．巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 方法技巧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ √ 索引 知识点三　空间向量的数乘运算 索引 在平面向量中，实数λ与平面向量a的乘积是一个向量，记作λa.那么在空间向量中，如何规定实数λ与空间向量a的乘积？ 提示：与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，其长度和方向满足： ①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，向量λa与向量a