第三章 4.3 第2课时 空间中的距离问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

第2课时　空间中的距离问题 　 第 三 章 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 1.能用向量语言表述点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离．　 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，体会向量方法在研究几何问题中的应用． 学习目标 课 时 精 练 知识点二　点到直线的距离 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　点到平面的距离 内 容 索 引 知识点一　点到平面的距离 索引 如图，设点P是平面α外一点，点A是平面α内已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 问题导思 点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝___________． 新知形成 微提醒 (2023•福建三明一中高二上月考)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为 A．10 B．3 例1-1 √ (链接教材P133 例12)在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2 ，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 取AC的中点O，连接OS，OB． 因为SA＝SC，AB＝BC，所以AC⊥SO，AC⊥BO. 因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，所以SO⊥平面ABC． 又BO⊂平面ABC，所以SO⊥BO. 例1-2 如图所示，以O为坐标原点，以OA，OB，OS所在 直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O -xyz. 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 求点到平面的距离的主要方法 1．直接法：作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． 2．等体积法：在三棱锥中用等体积法求解． 3．向量法：用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤： (1)确定一个法向量； (2)选择参考向量； (3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量； (4)求投影向量的长度． [注意]　线面距、面面距实质上是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． 方法技巧 即时练1.在空间直角坐标系O -xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，2，－1)，已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d为 √ 即时练2.正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，则点B1到平面ACD1的距离是_____． 如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 索引 知识点二　点到直线的距离 索引 如图，设点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则垂线段PP′的长度就是点P到直线l的距离，如何求这个距离？ 问题导思 点到直线的距离 新知形成 微提醒 (2023•北京昌平二中高二上期中)已知空间中三点A(－1，0，0)，B(0，1，－1)，C(－2，－1，2)，则点C到直线AB的距离为 例2-1 √ (链接教材P136 例15)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝3，点E，F分别是CC1，A1D1的中点，点G为BC上的一点，且CG＝ CB． 例2-2 (1)求点G到直线AF的距离； (2)证明：AF∥EG，并求它们之间的距离． 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 第一步：建立空间直角坐标系； 第二步：求直线的单位方向向量l0； 第三步：计算所求点与直线上某一点所构成的向量a； 方法技巧 √ 即时练4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°，则点B到直线PD的距离为 √ 索引 综　合　应　用 索引 线段距、线面距与面面距问题 如图所示，在四棱锥O -ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离． 例3 因为M，R分别为AO，AD的中点，所以MR∥OD． 在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NR∥CD． 又MR∩NR＝R，OD∩CD＝D，所以平面MNR∥平面OCD． 又MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD． 所以直线MN与平面OCD的距离及平面MNR 与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离． 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 1．求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．