第三章 3.1 空间向量基本定理-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

3.1　空间向量基本定理 　 第 三 章 §3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 1.理解空间向量基本定理及其意义．　 2.能够在具体问题中适当地选取一组基，并能用这组基表示空间中的任何一个向量． 学习目标 课 时 精 练 知识点　空间向量基本定理 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 知识点　空间向量基本定理 索引 如图，设a，b，c是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p能否用a，b，c表示呢？ 问题导思 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________． 2．基和基向量 (1)如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间的一组基，其中a，b，c都叫作________． (2)空间任意三个________的向量都可以构成空间的一组基． 新知形成 xa＋yb＋zc 基向量 不共面 (1)若p＝xa＋yb＋zc，则xa＋yb＋zc叫作向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示． (2)对于基{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点： ①基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示，选用不同的基，同一向量的表达式也可能不同； ②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； ③空间的一组基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基中的某个向量，二者是相关联的不同概念． 微提醒 例1 所以2e1＋2e2－3e3＝x(－3e1＋4e2＋2e3)＋y(e1＋e2＋e3)＝(－3x＋y)e1＋(4x＋y)e2＋(2x＋y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一组基， 判断基的基本思路及方法 1．基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基；若不共面，则能构成基． 2．方法：若向量中存在零向量，则不能作为基；若已知三个向量a，b，c，可假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基． 方法技巧 即时练1.(2023•河北石家庄高二期中)设{a，b，c}是空间的一个基，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基的向量是 A．a B．b C．c D．a或b 因为{a，b，c}是空间的一个基，所以向量a，b，c不共面，而向量p＝a＋b，q＝a－b与a，b共面，故排除选项A，B，D．故选C． √ 即时练2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基．给出下列向量组： ①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间的基的向量组有___个． 3 例2 1．(变条件，变设问)把本例已知条件变为“在四面体OABC中，G是△ABC的重心，延长AG交BC于点E，F是OG上的一点，且OF＝2FG.”试用向量 变式探究 因为OF＝2FG， 用基表示向量的策略 1．若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行． 2．若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 方法技巧 索引 综　合　应　用 索引 空间向量基本定理的应用——证明平行、共面问题 如图，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′， DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)EG∥AC； 例3 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC． (2)平面EFG∥平面AB′C． 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C． 又由(1)知EG∥AC，EG⊄平面AB′C，AC⊂平面AB′C， 可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C． 证明平行、共面问题的思路 1．利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． 2．利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 方法技巧 (1)证明：A，E，C1，F四点共面； 所以A，E，C1，F四点共面． 索引 索引 1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基的是 A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－