第二章 3.1 抛物线及其标准方程-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

3.1　抛物线及其标准方程 　 第 二 章 §3　抛物线 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．　 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．　 3.理解p的几何意义，并能求简单的抛物线的标准方程． 学习目标 课 时 精 练 知识点二　抛物线的标准方程 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　抛物线的定义 内 容 索 引 知识点一　抛物线的定义 索引 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定在三角板另一条直角边上点A的位置，截取绳子的长等于点A到l的距离AB，并且把绳子另一端固定在三角板上的一点F处．用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板上的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线． 这条曲线的形状是什么呢？ 提示：　抛物线． 问题导思 抛物线的定义 新知形成 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的__________的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 ________叫作抛物线的焦点 准线 _________叫作抛物线的准线 距离相等 定点F 定直线l (1)注意定点F不在定直线l上，这是动点轨迹为抛物线的必要条件，否则，若定点F在定直线l上，则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线． (2)抛物线的定义可总结为“一动三定”：“一动”即一个动点，设为M；“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1)． 微提醒 (1)已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是 A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 例1 因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为|MF|，又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|，因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，所以动圆圆心M的轨迹是抛物线．故选C． √ (2)正方体ABCDA1B1C1D1中，P为面ABCD所在平面上的一个动点，且点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直线DD1的距离，则动点P的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 √ 如图，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以D1D⊥平面ABCD，而PD⊂平面ABCD，所以D1D⊥DP，即点P到直线D1D的距离是DP的长度，过点P作PM⊥BC于M，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以平面BCC1B1⊥平面ABCD，而平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，所以PM⊥平面BCC1B1，则PM的长为P到平面BCC1B1的距离，又点P到平面BCC1B1的距离等于点P到直 线DD1的距离，所以P到定点D的距离等于P到定直线BC的距 离，所以点P的轨迹为抛物线．故选D． 　　在利用到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线时，注意先判断定点是否在定直线上．如果在定直线上，则动点的轨迹为过该点且与已知直线垂直的直线．　　 方法技巧 即时练1.若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是 A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 √ 由抛物线的定义知，动点P的轨迹为抛物线．故选B． 即时练2.若点P到点F(1，0)的距离和到直线l：x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是 A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 √ 因为点F在直线x＋y－1＝0上，所以点P的轨迹为过点F且与l垂直的一条直线．故选A． 索引 知识点二　抛物线的标准方程 索引 类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何建立平面直角坐标系，使所建立的抛物线的方程简单？ 问题导思 抛物线的标准方程 新知形成 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) (1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式． (2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式． 微提醒 (链接教材P68例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点M(－6，6)； 由于点M(－6，6)在第二象限， 所以过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)， 所以p＝3，所以抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6， 所以p＝3，所以抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.