第二章 2.2 双曲线的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

2.2　双曲线的简单几何性质 　 第 二 章 §2　双曲线 1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．　 2.掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．　 3.了解双曲线的渐近线，能用双曲线的几何性质解决相关问题，体会数形结合思想． 学习目标 课 时 精 练 知识点　双曲线的简单几何性质 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 知识点　双曲线的简单几何性质 索引 问题导思 2．对称性 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点． 顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作双曲线的实半轴长；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长． 4．渐近线 5．离心率 (2)e的范围：e＞1. 双曲线的几何性质 新知形成 性 质 焦点 ________________________ ________________________ 焦距 ________________  范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点 __________________ __________________ 对称性 对称轴：__________；对称中心：__________   轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____ 渐近线 离心率 ________________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) x轴、y轴 坐标原点 2a 2b (1)椭圆有四个顶点，而双曲线有两个顶点． (3)双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2＝a2＋b2. 微提醒 (链接教材P65例5)求双曲线9y2－4x2＝－36的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及离心率和渐近线方程，并画出该双曲线． 例1 由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 方法技巧 即时练1.(多选)(2023•江西南昌高二期中)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则下列结论正确的是 √ √ √ －3 (1)中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是 √ 例2 由双曲线的几何性质求双曲线标准方程的基本思路 　　根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按“先定位，再定形”的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质． 方法技巧 即时练3.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (2)F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12 ，且离心率为2. 由余弦定理，得(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|•cos∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|•(1－cos∠F1PF2)， 所以|PF1|•|PF2|＝48， 所以3c2＝48，所以c2＝16，所以a2＝4，b2＝12. (1)(2023•江西上饶模拟)双曲线C： ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的一个端点为B，若△ABF为等腰三角形，则双曲线C的离心率是 例3 由题意，知F(－c，0)，A(a，0)，设B(0，b)，则|AF|2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac， |AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2. 由△ABF为等腰三角形，得|AF|＝|BF|， √ 由题意，得双曲线的渐近线为bx±ay＝0， 因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝1无交点， 所以圆心到渐近线的距离大于半径， √ 求双曲线的离心率或其取值范围的思路 1．求解双曲线的离心率一般有三种方法． (3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程，即p•c2＋q•ac＋r•a2＝0(p，q，r为常数，且p2＋q2≠0)，则转化为关于e的方程p•e2＋q•e＋r＝0求解． 方法技巧 2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和 ＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a. [注意]　双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化． 方法技巧 索引 且点P不在直线F1F2上，画出示意图如图所示． 综　合　应　用 索引 例4 双曲线的一条渐近线方程为2x－ay＝0， √ (2)已知双曲线两渐近线方程为2x±y