第二章 1.2 椭圆的简单几何性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

1.2　椭圆的简单几何性质 　 第 二 章 §1　椭圆 1.结合椭圆的图形掌握椭圆的简单几何性质．　 2.掌握a，b，c，e的几何意义及其相互关系．　 3.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形，体会数形结合的思想． 学习目标 课 时 精 练 知识点　椭圆的简单几何性质 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 知识点　椭圆的简单几何性质 索引 提示：范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点；顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 问题导思 椭圆的几何性质 新知形成 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程  ＝1(a＞b＞0)  ＝1(a＞b＞0) 范围 ____________________ ____________________ 顶点 ____________________ ____________________ 对称性 对称轴：________　对称中心：________ 轴长 长轴长____，短轴长____ 离心率 e＝_____∈________ |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 坐标轴 (0，0) 2a 2b (0，1) 微提醒 (链接教材P52例4)求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 例1 用标准方程研究几何性质的步骤 第一步：将椭圆方程化为标准形式； 第二步：确定焦点位置； 第三步：求出a，b，c； 第四步：写出椭圆的几何性质． [注意]　长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． 方法技巧 (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质． 性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：关于x轴、y轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)； (链接教材P53例5)求适合下列条件的椭圆的标准方程： 设椭圆的方程为： 由已知得2a＝10，a＝5. 例2 (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为 斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ 等． 方法技巧 即时练2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是 由题意，长轴长为2a＝18，a＝9，长轴三等分后2c＝6，c＝3，故b2＝a2－c2＝81－9＝72，则该椭圆的标准方程是 ＝1.故选A． √ √ 例3 1．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°” 改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 变式探究 在△PF1F2中， 因为∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， 所以∠F1PF2＝60°， 2．(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围． 由题意，知c＞b，所以c2＞b2. 又b2＝a2－c2，所以c2＞a2－c2， 即2c2＞a2. 求椭圆离心率及范围的两种方法 1．直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解． 2．方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． [注意]　过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦，叫做通径，其长度为 方法技巧 索引 综　合　应　用 索引 例4 √ 由椭圆的定义可得2(a＋c)＝6，所以a＋c＝3　①， 当点A为上顶点或下顶点时，△AF1F2的面积取得最大值为bc， 0 与椭圆有关的最值问题的解题方法 1．定义法：用椭圆定义转化为常见的和或差求值； 2．几何法：利用图形的明显特征及意义求值； 3．代数