第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 　 第 二 章 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 1.会求直线被圆锥曲线所截的弦长．　 2.掌握有关圆锥曲线的范围和最值问题． 学习目标 课 时 精 练 知识点　直线与圆锥曲线的综合问题 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 知识点　直线与圆锥曲线的综合问题 索引 当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？ 问题导思 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得． 当直线斜率不存在时，可代入直接求得． 1．圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线有两个交点时，以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长． 2．圆锥曲线的弦长的计算 新知形成 (链接教材P79 例5)已知斜率为2的直线经过椭圆 ＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． 例1 法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 求弦长的两种方法 1．求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解． 方法技巧 即时练1.已知斜率为2 的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长为9，则p＝ A．1 B．2 C．4 D．8 √ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 √ 法一：若所求直线的斜率不存在，则弦AB与x轴垂直，由椭圆的对称性可知，弦AB的中点是它与x轴的交点(2，0)，不符合题意，因此所求直线的斜率存在．(只有说明该点，才能设直线的斜率为k) 设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0(*)． 例2 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为M(2，1)为弦AB的中点， 所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 设而不求思想与点差法的完美结合 本题体现了设而不求、整体代换的思想及点差法的运用．在研究直线被圆锥曲线截得的中点弦问题时，常设出弦端点的坐标，并代入圆锥曲线方程得两式，将两式相减，这种解题方法称为“设点求差法”，简称“点差法”． 方法技巧 即时练3.过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为______________． 法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)． 4x－y－15＝0 故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. 法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在直线的斜率存在． 且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， ③ ①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)， ④ 故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 即时练4.已知曲线C的方程为2x2－y2＝2，问过点P(1，1)能否作直线l，使直线l与曲线C交于A、B两点，且点P为弦AB的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 不存在，理由如下： 假设存在这样的直线l，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. 索引 综　合　应　用 索引 解决与面积有关的综合问题 (2023•黑龙江哈尔滨三中高二期中)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e＝ ，且________． 例3 (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．当直线l的倾斜角为 时，求△POQ的面积． 注：　如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由(1)可知右焦点为 (变条件，变设问)在本例(2)中去掉条件“直线l过右焦点F，”其他条件不变，求△POQ的面积的最大值． 变式探究 解决与面积有关的综合问题 在直线与圆锥曲线的综合问题中，以面积的计算为载体，考查直线与圆锥曲线的相关知识，以及分析解决问题的能力，一直是高考的热点．解决此类问题的关键在于从图形特征上挖掘其几何内涵，并将多边形面积转化为三角形的面积，而解决三角形面积问题的关键在于熟练掌握以下面积公式． 方法技巧 索引 索引 √ 2．若点M(1，1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为________． 所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1， 代入抛物线的方程得4x2－8x＋1＝0， (1)求椭圆C的标准方程； (2)过