第一章 培优增分2 与圆有关的最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优增分2　与圆有关的最值 　 第 一 章 §2　圆与圆的方程 类型一　与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题包括： (1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r； (2)求圆上的点到某条直线(相离)的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r； 角度1　与距离有关的最值问题 (1)(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为 A．±2 B．± C．± D．±3 典例1 设直线l与y轴交于点A(0，m), 由题意知，圆心C(0，0)，当k的值发生变化时，要使直线l被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线l的距离最大，为|AC|，即|m|＝ √ (2)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，由点(a，b)向该圆引切线，则切线长的最小值为 A．2 B．4 C．6 D．8 √ 由题意得圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为 (－1，2)，半径为 ，因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称， 所以圆心位于该直线上，所以－2a＋2b＋6＝0，即点(a，b)在直线l：－x＋y＋3＝0上， 与距离有关的最值解题策略 方法技巧 即时练1.若圆C的方程为x2＋y2＋4x＋4y＋5＝0，点P是圆C上的动点，点O为坐标原点，则|OP|的最大值为 √ 即时练2.在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y21＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为 由已知得点(x1，y1)在圆 (x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示圆(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方， √ 角度2　利用代数式的几何意义求解最值问题 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求 的最大值和最小值； 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． 典例2 (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝ ＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. (3)求x＋y的最大值与最小值． 方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 利用代数式的几何意义求解最值的策略 方法技巧 √ √ √ 类型二　与面积有关的最值问题 已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，求△OAM面积的最小值． 典例3 根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1， 　　求与圆有关的三角形面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，数形结合求解． 方法技巧 即时练5.点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为____． 如图所示，S四边形PAOB＝2S△POA．OA⊥AP，OA＝2， 为使四边形PAOB面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离： 8 即时练6.(2023·河南开封高二检测)已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为________． 圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝8，圆心C1(－2，2)． 圆C2：(x－2)2＋y2＝16，圆心C2(2，0)，半径r＝4. 索引 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 直 线 与 圆 (3)已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求